Молодежь и наука – третье тысячелетие (2015)

253 будет: , , где , – определяется по формуле (1). Так как – решение уравнения (4), то Равенство (3) можно переписать в форме . Перемножив почленно два последних равенства, получим (5) Но Используя последние 2 равенства, перепишем (5) в форме или в форме Таким образом мы доказали, что, если - решение уравнения (2), то пара чисел будет удовлетворять этому уравнению: , (6) где - любое решение уравнения (4). Значит мы доказали, что если уравнение (2) имеет хотя бы одно решение, то оно имеет их бесконечное множество, ч. т. д. Значит, уравнение имеет бесконечное множество решений. Однако нельзя утверждать, что формулами (6) можно найти все решения уравнения (2). В теории алгебраических чисел доказывается, что все решения уравнения (2) в целых числах можно получить, взяв некоторое конечное и оп- ределенное зависящее от число решений этого уравнения и размножив их с помощью формул (6). Притом, уравнение (2) при отрицательном или равном квадрату целого числа может иметь не более конечного числа решений. Решение самых общих уравнений второй степени с двумя неизвестными в целых числах, уравнений вида