Молодежь и наука – третье тысячелетие (2015)

252 отсюда и , следовательно, у данной системы нет целых реше- ний, поскольку не целое число. 2. , , отсюда и 25, следовательно, решениями в целых числах являются (26, 5) или (26, -5). Проверка: при , (верно), при Но мы знаем, что достаточно найти только положительные решения, то есть те, для которых Используя, формулу (1) можно найти остальные решения, например, при получается , что совпадает с полу- ченным выше результатом. Данное уравнение , является частным случаем уравнения , (2) где - целое положительное число, не являющееся полным квадратом, – целое число. Соответственно, рассмотренное решение можно обобщить для любого , зная, что уравнение (2) имеет нетривиальные решения. Докажем, что если уравнение имеет хотя бы одно решение, то оно имеет их бесконечное множество. Пусть уравнение имеет одно нетривиальное решение (в нашем случае [26, 5]), т. е. (3) Рассмотрим притом же уравнение (4) Это уравнение имеет бесконечное множество решений в целых числах при и иррациональном , и любое такое его решение ,