Вестник ТГПУ им Л.Н. Толстого №4 2007

МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА № 4, 2007 Zspan^{e k}™^ j\Qspany{ek}™^ ||мы будем называть банаховой /и-мерной Z-решет- кой вл , (банаховой ш-мерной g -решеткой вл ) ,а е, ...ет - базисом этой решетки. Пусть X - банахово пространство с базисом {ек\ “=, . Определим отображение 7’из /7s S в X формулой 1\т\, ...m s) = / mke t . Далее будем пользоваться этим обозначением. *=i В пространстве X будем рассматривать T(ZS) = AJ(X) - банахову 5-мерную Z-решетку, УЛДАГ) = Л(Й0 = Ах - бесконечномерную банахову Z-решетку. S Пусть А - множество из линейного пространства X. Множество ХА , где X - число, называется гомотетией множества А [1, 20]. Если М— множество чисел, то М (Z) = {Ах | Xе М, х е А] [1, 20]. Рассмотрим частные случаи Q( a ) иZ (Д). Мы будем называть множество А рациональ­ ным (целым) если Q(A) =A (z (Z ) = д ) . Очевидно, что Qspan({xn} ^Z span({xn}yj являет­ ся рациональным (целым) множеством, Z(AS(X)) =AS( X ) , Z(A(X)) =А(Х ) , Q(A)= U Х-А, Z(A)= U Х-А. XeQ XeZ Будем называть А - нетривиальным рациональным (целым) множеством, если q ( a ) = a ( z ( a ) = a) и А * Х . Очевидно, что Qspan({xn}^ и Zspan^{xn]^j являются нетривиальными рациональ­ ными (целыми) множествами в бесконечномерном пространстве X, банахова Z-решетка является нетривиальным целым множеством в банаховом пространстве X с базисом. С рациональными и целыми множествами в банаховом пространстве X свяжем функ­ ционалы из сопряженного пространства X* . Пусть х ^ еХ , || х0 ||= 1. Тогда найдется / е X* такой, что / ( х 0) -1 и для g(x0) - рационального множества в Х выполнено f \g(x0)e Q- Такой / мы будем называть ра­ циональным на множестве g(x0) и обозначать / e (g , g (x0)). Для Z(x0) этот же / мы будем называть целым, так как / lz^0)£ Z ,л\ обозначать / е (Z, Z (х0)). Определение. Пусть х0 е X, X - банахово пространство. Элемент х0назовем целым (рациональным) в/ 0 е / ( пишем х0е (Z ,fQ){x 0е ( Q,f 0)), если/ 0 (х0) е Z (f0 (х0) е Q ). Со­ ответственно f 0 в этом случае назовем целым (рациональным) функционалом в точке xQe X (пишем/о е (Z, x0)(f0 е ( Q, *о))- Если х0 е (Z, f) (х0е (Q, /)) для любых / е ГС X*, то будем говорить, что х0- целый (рациональный) относительно Г (будем писать хо е (Z, Г) (х0 е (Q, J)). Если f 0 е (Z, x)(fo е (Q, х)) для любых хе S d X, то будем говорить, что / 0- целый (рациональный) относительно S (будем писать f> е (Z, S) (f0 е (Q, S)). Очевидно, что если X q е (Z, /о), то Хо € (Z, Z(fo)), если х0е (Z, Г), то х0е (Z, Z(r)). Определение. Пусть каждому ye X каким-либо образом ставится в соответствие fye X . Будем говорить, что^обладает Z-свойством относительно точки х0е X, если m f ye (Z, х0) следует, что / е (Z, у). Будем говорить, что fye X" обладает Z-свойством, если^облада­ ет Z-свойством относительно каждой точки х е X. fy - взаимной решеткой к решетке А(Х) называется множество (AW )’ = {х € х \ х е ( Z , f y) , ye Л(А)}.