Вестник ТГПУ им Л.Н. Толстого №4 2007

№ 4, 2007 ВЕСТНИК ТГПУ им. Л. Н. Толстого Е. В. Манохин ЛИНЕЙНЫЕ ОБОЛОЧКИ МНОЖЕСТВ С РАЦИОНАЛЬНЫМИ И ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ВБАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Пусть х0 е X, X - банахово пространство. Элемент х0 называется рациональным (целым) в/о е Х \ если /0 (х0) е Q (f, (х0) е Z). Соответственно /0 в этом случае на­ зывается рациональным (целым) функционалом в точке хи е X. Приводятся приме­ ры банаховых пространств и функций на них, множество периодов которых содер­ жит S-мерную банахову Z-решетку. 1. Введение Один из наиболее популярных среди исследователей классов банаховых пространств - сепарабельные пространства, в которых найдется счетное всюду плотное множество. Например, в пространствах lp , 1< р < оо такими счетными всюду плотными множе­ ствами являются линейные комбинации элементов {е,-}” , с рациональными коэффициен­ тами [1]. Линейные комбинации векторов конечномерного пространства с целыми коэф­ фициентами называются решетками и широко применяются в теории чисел [2]. Поэтому представляется актуальным изучение линейных оболочек с рациональными и целыми коэффициентами в различных линейных пространствах. Работа выполнена при финансо­ вой поддержке РФФИ, грант N 05-01-00672. 2. Необходимые определения и факты Пусть {•*„}n6;V - множество элементов линейного пространства X. Линейной оболочкой этих элементов /,({*„}) или spany{x n}neN) называют множе- П •# ство всевозможных сумм вида "к.х , , где е R, п е N [1, 18]. /=1 Таким образом, span[{x„}n^N ) = N>0, aQ,...aN е /? | [3, 2]. Мы будем рассмат­ ривать частные случаи QL(\xn}) или Qspan({xn}nef/}= |X °W N>0, a0,...aN e g j - линейные оболочки с рациональными коэффициентами и или Z span({x n)_-„) = jy .a ,* , ; N> 0 , a0,...aN e z j - линейные оболочки с целыми коэф­ фициентами. Очевидно, что Zspan({xn}}c:Qspan({xn}}(^ span({xn}Y В случае, если X = R s , Я.,,X2)...X.m, m<S - линейно независимая система векторов, то Z span y^k^ ^ называется т -мерной решеткой в Rs , а \ , . . .Х т - базисом этой решетки [2]. По аналогии, в случае если X - банахово пространство, ех...ет - линейно независи­ мые элементы Х , т е N .