Вестник ТГПУ им Л.Н. Толстого №4 2007

№ 4, 2007 ВЕСТНИК ТГПУ им. Л. Н. Толстого где r(u,v) eC2l(D); D - односвязная область. Пусть поверхность F2 преобразована в односвязную поверхность F2 еС2/, 0 < / < 1, заданную в области D уравнением re(M,v) = r(K,v) + Ez(M,v) еС2'ф ), (u ,v )eD , (2) где е - бесконечно малая величина; ее(-£о, е0), £ q > 0; z еС2/, 0 < /< 1. Векторное поле z называют полем смещений поверхности F2 при ее бесконечно ма­ лой деформации. Учитывая уравнение (2), равенство (1) можно записать в виде: Ifc.i.^vJbO + cCe))!^,^]!, (3) где [ ^ ,4 ,]* 0 ; rEU=drjdu, rEV=drE/dv , с(е) - заданная функция оте; с(0) = 0, с'(0)*0 . Ясно, что для бесконечно малых ЕА G-деформаций (и только для них) выполняется соотношение: [га,,геу] = (1 + ф ) ) [ г 11 ,гу] . Отсюда следует, что векторное поле смещений z удовлетворяет уравнению: [z„,rv]+ [r„,fv]= c,[rw,rv], (4) где zu - dz/du , zv= dz/dv , с, = c'.(0) = const. Положим zu =axru + P,rv+ y ,h , zv= a 2ru + p2rv + Уз” •Тогда из (4) следует: ai \ru, r v]+ у, [Я, rv] + Р2 [f u. + У 2 \Ги ,”] = cif t > 1• Так как векторы [r„,rv], [л,г„], [йц,й] линейно независимы, то у, = у2 = 0, a i+ Рг ~ с\■ Это означает, что имеют место формулы fz„=arH+prv, IA = У”И+ ( -« + C|)rv, где a = a , , р=Р] у= а2 - некоторые функции класса Си, 0 < / < 1. Так как z еС22, 0 < / < 1 и векторы ?и, rv, й линейно независимы, то Из соотноше­ ний (5) с учетом формулы zuv =zvu находим: a v+аГ}2+РГ’2 =УИ+уТ|] + (-a +Ci)rJ2, Pv + аГ?2+рт22 =~аи +У^п + ( -a + cl)Tf2, (6) «6,2+Рй22 = ^пУ + ( -a + Cj )b]2■ где bjj - коэффициенты второй квадратичной формы поверхности F 2, а Гд - символы Кристоффеля поверхности F2. Известно [2], что на поверхностях С2'1, 0 < / < 1 с К > к0> 0, ко= const, существует изо- термически-сопряженная параметризация (u,v), для которой bu = b 22 -^JgK ф0, где g - дискриминант метрической формы поверхности F2, Ь\2- 0, и потому из последнего урав­ нения системы (6) получим, что у=р. Тогда система (6) приводится к виду: |р и - av+Р(Г|, - Г*2) - 2аГ!12= -с,Г |2, (?) 1ру+ ан+Р(Г12 -Г 2 ) + 2аГ22 =с1Г22. Таким образом, нахождение поля z сводится к решению системы (7) относительно искомых функций a , Р . Так как у=Р, то по решению системы (7) можно найти правые части формул (5), а значит, и поле z ([3]). Полагая а = -С/ +с,/2 , р -V и заменяя х = и, у = v, система (7) относительно пере­ менных U, V примет вид: