Вестник ТГПУ им Л.Н. Толстого №4 2007

№ 4, 2007 ВЕСТНИК ТГПУ им. Л. Н. Толстого Пусть каждому /},е X" каким-либо образом ставится в соответствие Ту из /ДА)-прост- ранства офаниченных комплекснозначных функций на X. Будем говорить, что Ff обла­ дает Z-свойством, если условия F^ (x+f) - F^ (х) - 0 равносильны условию f y е (Z, t). Пусть Лу*= { f y e ^ l y e Л x,fy обладает Z-свойством}. Пусть (Л*) = {Ffy е F{X) \fy е Л**, обладает Z-свойством}. Определения опорного отображения, гладкого пространства X, локально равномерно выпуклой (ЫЖ)-нормы и нормы вА-дифференцируемой по Гато содержатся в [6]. 3. Рациональные (целые) элементы и рациональные (целые) функционалы Обобщая вышесказанное, получаем: Предложение. (1). Если 0 - нулевой элемент X, то 0 е (g ,А*) (0 е (Z, X *)). (2). Если х , у еН , где Н - гильбертово пространство,/)= <• , у>, хА.у, то fy e (g , х), более того/) е ( Q, g(x)). (3). Для любого х0е 5(A), х0ф 0 н ай д е т ся /е / , такой, что х0е ( Q ,f ), более того х0 е (Q, Q(j ))• (4). Если X гладкое в точке х е 5(х) (норма в X дифференцируема по Гато в точке х), то хе (g , ff), где х—> f x - опорное отображение; более того, х е (g, Q(fx)). (5). Банахова Z-решетка является нетривиальным целым множеством в банаховом пространстве X с базисом. (6). Пусть X - пространство с базисом {ек} ”=1 , / e (Z, Z(e k)), для лю­ бого к , тогда/е (Z, Л( X ) ), где Л(А) - бесконечномерная банахова Z-решетка. Согласно предложению нулевой элемент в X является рациональным (целым) отно­ сительно X*. Это единственный рациональный (целый) элемент относительно X* , что по­ казывает следующий результат. Теорема 1. Если х0€ ( Q, Xя), то Хо= 0. Более того, если х06 ( Q, L), где L - линей­ ное подпространство X , то х0= 0. Доказательство. Допустим, что х0 ф 0. Пусть f 0 е X* ,f>Ф 0. Тогда f 0 (х0) = a e g . Рас­ смотрим / = \/2 /0 еА*. По условию теоремы/i(x0)e g, но/i =V2/0(x0) = а%/2 г g . Про­ тиворечие. Таким образом, х0= 0. Теорема доказана. Следствие. Если / 0 е / , / # e (Z, А), то / 0= 0. Более того, если / 0е (Z, L), где L - линейное подпространство X, то хо= 0. Возникает вопрос, что представляет собой множество L cT * такое, что x0 e(Z,L) . Положим Г(х0) = { /'=£ Р ч / IР; е Z, если i е D (х0), / е Э(х0) 'vJ CD(x0)}. * Теорема 2. Пусть X - пространство с базисом,хоеЛ(А). Еслиx0e(Z, L), L a X , то 1 сГ (х0). Доказательство. Пусть fo е L и / 0 ё Г(х0) , т. е. / 0 =Х Р г/; и Ру £ Z , j е D(x 0) . То­ гда для х = 'У а,е,,а,e Z выполнено / 0(х0) = 1 о Д + а ; |) ,« Z . Противоречие. Теорема >*j доказана. Следствие. Пусть / / - гильбертово пространство с базисом, х0е А (Н). Если x0e(Z, L), то L a Г(х0) , Г(х0) = A(x0)(jA*(x0) , где Л’(х0) - взаимная решетка. Теорема 3. Пусть X - банахово пространство с базисом. Тогда для любого F j , обладающего Z-свойством (где f y обладает Z-свойством), множество его периодов есть (Л(А))* - f y взаимная решетка к решетке Л(А).