Вестник ТГПУ им Л.Н. Толстого №2 2005

№ 2, 2005 ВЕСТНИК ТГПУ им. Л. Н. Толстого где V(x) - функция потенциальной энергии, vp - волновая функция. Выберем начало координат у правого края одного из барьеров.Барьер, правая сто­ рона которого имеет координату х - п с (п = 0,±1,...), назовем п- мбарьером,а яму е пра­ вой стороной в точке х = пс —а - п -ой ямой. Волновые функции, удовлетворяющие уравнению (1) с таким потенциалом, должны иметь вид: уД х^ехр^ЪфмД х ) , (2) где ик(х) - периодическая функция с периодом ик(х +пс) =ик( х ) . (3) Пусть энергия Е заключается в интервале 0 < Е <V0 . Введем обозначения 2 2тЕ ~ г ~ m(V0- E ) „ ... а ' =—— , [3 =— —-г --------. С учетом (2) с (3) решения уравнения (i) будут иметь h~ h вид: ч/,(л) =ехр[/ах]Д1+ехр[-/ал]Д„ —внутри rt-йямы, (4) 4 ф2(л) =ехр[рх]С„ +ехр[-рх]Д, - внутри п -го барьера, (5) ГЛ&-А1, Вп, Сп, Dn - произвольные постоянные. Условие периодичности (3) уменьшает число произвольных постоянных в (5) и (6) до четырех А0, В0, С0 и Д , . Их нужно по­ добрать так, чтобы волновая функция и ее производная были непрерывны на границах материала: х = 0, х = b . Получаемое дисперсионное соотношение описывает распро­ странение электронной волны в одномерном периодическом поле: >14""’‘'’•HA/I, Ч.Н •• IKi о2 2 р — ОС chf5acosab +- —shf3asinab =cos(k(a +b)). (6) 2оф В пределе бесконечно малого произведения aV0 электроны любой энергии дви­ жутся совершенно свободно и обладают законом дисперсии Пгк г = ( 7 ) 2т как и свободные электроны. В противоположном предельном случае широких барьеров для электронов с энергией меньшей V0 вероятность туннелирования равна нулю. Воз­ можными значениями энергии электрона оказываются: „ п2НЧг . , . . Ei =— —r , /=1 ,2 , 3 . . . . , (8) 2 mb пока Е, остается меньше V0 . Формула (8) представляет собой стандартный квантовоме­ ханический результат для энергии частицы в одномерном ящике ширины b . В предель­ ном случае оченьвысоких, но очень узких барьеров, волновой вектор к иэнергия Е связаны соотношением: sin(a6) cos (ка) = cos(a b) + Р где величина Р есть мера проницаемости барьеров: aV0mb а b ( 9 )