Вестник ТГПУ им Л.Н. Толстого №2 2005

№ 2, 2005 ВЕСТНИК ТГПУ им. Л. Н. Толстого i(a-k)A< ; i f a - к !а i(a + k )B е- - i(a + к^а] . ч Г—(Р— ik)b] . ч [fP+ iklbl (Р-ikX^e1 ' J -(p + ik)DeL J 1 (13) Данная система имеет решение лишь при равенстве нулю определителя, составлен­ ного из коэффициентов при неизвестных. Это приводит к уравнению: 2аа -sh(j3b)sin(aa)+ch((3b)cos(aa)= cosk(a +b) • (14) Решить уравнение (16) очень сложно. Поэтому вводят дополнительные упрощения. Рассмотрим высокие тонкие барьеры, т. е. b -> 0, a V0 -> оо, но так, чтобы b-V0 остава­ лось конечным. Это означает, что р2Ь конечно, но рЬ->0. При b -» 0 , chp6->l, shpfe pb. Тогда вместо (14) запишем p2ab sin(aa) ■+ cos(aa)= cos(ka)- (15 ) 2 аа Введем параметр Р, представляющий собой меру эффективной площади каждого барьера. lim ь-»о p2ab 06) Онхарактеризует степень прозрачности барьера для электрона, или, другими сло­ вами, степень связанности электрона в потенциальной яме. sin(aa) С учетом этого аа -+cos(aa) = cos(ka) • (17) Поскольку cos(aa), стоящий в пра­ вой части уравнения (17), может прини­ мать значения только в интервале от +1 до -1, то допустимыми значениями аа будут такие, для которых левая часть уравнения не выходит из указанных пределов (рис. 5а). Ширина этих интер­ валов зависит от параметра Р. Чем меньше Р, тем они шире. При любом фиксированном значении Р эти интерва­ лы расширяются с увеличением аа. В силу соотношения (9) между а и энергией электрона Е сказанное отно­ сится и к энергии. Таким образом, энер­ гия электрона в кристалле не может принимать любого значения: есть зоны разрешенных энергий и зоны запрещен­ ных энергий (рис. 56). Рассмотрим сверхрешетку А - В, составленную из слоев с толщинами daи db, т. е. имеющую период d = da+ db[4]. Обозначим через z направление оси сверхрешетки, а че­ рез х и у два взаимно ортогональных направления в плоскости z = 0. Для данной сверх­ решетки А - В волновая функция в обоих исходных материалах имеет вид ^ в ( г ) = 1 р ^ в ( г Ц в ( г ), (18) 6 Рис. 5. а) зависимость левой части уравнения (17) от аа . Значения аа заштрихованы; 6) энергетический спектр электрона в кристалле. Разрешенные зоны заштрихованы рШ21 +С0$Ла 222