Вестник ТГПУ им Л.Н. Толстого №2 2005

МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ ДИСЦИПЛИН № 2, 2005 Функция В реализует обобщенную декомпозициюШура прямоугольной матрицы т по отношению к матрице а. Размеры этих матриц должны быть одинаковыми, а элементы могут быть действительными или комплексными числами. Возвращается список {q, s, г, t}, где q и г - унитарные матрицы, a s и t - верхние треугольные матрицы, такие, что: т = q . s . Con j uga t e [T ran spo se [г] ] , а = q . t . Conj uga t e [ T ranspose [r] ]. Примеры 5. m={{ \ . , 2,3}, {2, 0, 7}, {4,-1,2}}; n={{0, 5, 1}, {1,0,3}, {0, 0,9}}; {q, t } = SchurDecomposition[m]\ q IIMatrixForm "0.566592 -0.788266 0.240023 ^ 0.709924 0.614859 0.343447 ^0.418308 0.0241966 -0.907983y Сhop[q.Conjugate[Transpose[q \] | {{1., 0,0}, {0, l.,0},{0, 0,1.}} 11/MatrixForm ^5.72081 -2.26363 -5.69127^ 0. -1.3604 -2.22529 v 0. 3.01737 -1.3604 J Chop\m-q.t.Conjugate [ Transpose la111 {{0, 0,0}, {0, 0,0}, {0, 0,0}} {q, s, r, t) =SchurDecomposition[{m, Chop[q.Corjugate[Transpose[q]]\ {{1., 0,0}, {0,1., 0}, {0, 0,1.}} Chop\r.Conjugate [ Transpose} r| ]] {{1., 0, 0}, {0, 1., 0}, {0, 0,1.}} Chop [ m-q .s.Conjugate [ Transpose[r ]JJ {{0, 0,0}, {0, 0,0}, {0, 0,0}} Chop[a-q.t.Conjugate[Transpose[r]\] {{0, 0, 0}, {0, 0,0}, {0, 0,0}} Декомпозиция Холецкого. Напомним, что квадратная матрица т с числовыми действительными или комплексными элементами называется эрмитовой, если а = а , т . е. а = Con j uga t e [Transpose[a] . Далее, эрмитова матрица называется положительно определенной, если для каждо­ го ненулевого вектора х выполняется условие (т.х).х > 0. Известно, что для того чтобы эрмитова матрица была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все ее ведущие миноры были положительны (критерий Сильвестра), или все коэффициенты ее характеристического многочлена были отличны от нуля и имели чередующиеся знаки (критерий Якоби), или все собственные значения т были положительными. Декомпозиция Холецкого реализуется функцией Cho l e s k yDe compo s i t i on [т] , где т - квадратная числовая или символьная эрмитова положительно определенная мат­ рица. Эта функция возвращает верхнюю треугольную матрицу и, такую, что Р } Р> Р ) {Shift+J} {Shift+J} {Shift+J} {Shift+J} a}]; {j} {Shift+J} {Shift+J} {Shift+J} {Shift+J}