Вестник ТГПУ им Л.Н. Толстого №2 2005

№ 2, 2005 ВЕСТНИК ТГПУ им. Л. Н. Толстого А. Р. Есаян, А. Е. Устян ДЕКОМПОЗИЦИЯ МАТРИЦ ВСИСТЕМЕ МАTHEMATICА В статье представлен методический материал, связанный с описанием синтак­ сиса и семантики различных функций системы символьных вычислений Mathe- mathica , осуществляющих тот или иной тип декомпозиции матриц. Приводятся простые иллюстративные примеры, демонстрирующие технику работы с этими функциями для получения конкретных разложений матриц. Во многих теоретических и прикладных задачах алгебры используются различные типы декомпозиции матриц. Студентам педагогических вузов факультетов математики и информатики часто приходится сталкиваться с ними при написании курсовых и диплом­ ных работ. Однако в программе базового курса алгебры вопросам декомпозиции матриц уделяется слишком мало внимания. Фактически предполагается рассмотрение только де­ композиции Жордана. В стороне остаются сингулярная декомпозиция, ^-декомпозиция, L (7-декомпозиция, декомпозиция Холецкого, декомпозиция Шура и т. д. По нашему мне­ нию, современные информационные технологии в математике могут помочь студентам как в освоении соответствующих понятий, так и в эффективном их использовании в при­ кладных задачах. В статье рассматриваются различные функции системы символьных вычислений Mathemalhica , которые осуществляют тот или иной тип декомпозиции матриц. Приводи­ мые иллюстративные примеры написаны на языке системы Mathemalhica, понимаемом и без предварительного изучения. Большая часть дополнительных матричных операций и функций, используемых в примерах, кратко поясняется в таблице 1. Таблица 1 Матричные операции и функции, используемые в примерах Функция Возвращаемый объект Transpose[m] - матрица, транспонированная кматрице т Conjugate[m ] - матрица, получаемая заменой в т каждого элемента на комплекс­ но-сопряженное значение Inverse[m] - обратная матрица для квадратной невырожденной матрицы т Eigemalues[m ] - список собственных значений для квадратной матрицы т SingularValueList[m ] - список ненулевых сингулярных значений числовой матрицы т Chop[m\ — матрица, получаемая заменой в т каждого элемента по абсолют­ ной величине меньшего е точным нулем (по умолчанию в= 10 10) Simplify[m) - матрица, получаемая различными упрощениями матричного выражения т expr IIMatrixForm - представление выражения ехрг в матричной форме - операция (оператор) умножения матриц Декомпозиция Жордана реализуется функцией JordanDecomposition[m], где т - квадратная матрица с числовыми или символьными элементами. Эта функция возвращает список {s,jordan}, где s - неособенная матрица (подобия), a Jordan - матрица, являющаяся канонической жордановой формой т. При этом справедлива декомпозиция