Вестник ТГПУ им Л.Н. Толстого №2 2005

МАТЕМАТИКА № 2, 2005 С. А. Пихтильков, В. М. Поляков ОБ АНАЛОГЕ ТЕОРЕМЫ АМИЦУРА - МАККОЯ ДЛЯ АЛГЕБР ЛИ В работе приводится доказательство аналога теоремыАмицура - Маккоя для алгебр Ли. Показано, что для алгебры ЛиL - первичный радикал кольца многочле­ нов от и коммутирующих переменных над алгеброй Ли P(L[*i, .... *„]) совпадает с P(L)[xi х„]. Пусть Р(А) - первичный радикал алгебры А над полем F (ассоциативной или алгеб­ ры Ли). • В работе [2] доказана следующая теорема. Теорема А. Пусть А - ассоциативная алгебра и А[х] - кольцо многочленов над А. Тогда Р(А[х\)=Р(А)[х\. Известно, что если L - алгебра Ли над полем F и К - коммутативная алгебра над F, то L<S>p-K- алгебра Ли. Из этого следует, что кольцо многочленов над алгеброй Ли L от п коммутирующих переменных L®FT{x], ..., х„] = Т\хи х„\ является алгеброй Ли. В настоящее время появилось большое число работ, исследующих различные ради­ калы для кольца многочленов над ассоциативными алгебрами. Представляется интерес­ ным провести аналогичные исследования для неассоциативных алгебр, например для алгебр Ли. Цель этой работы доказать следующие теорему и следствие. Теорема. Пусть L - алгебра Ли и L\x\ - кольцо многочленов над L. Тогда P(L[x])=P(L)[x], Следствие. Пусть L - алгебра Ли и L[x\, ... ,х„] - кольцо многочленов над L от п коммутирующих переменных. Тогда P(L[x\, ..., xn\)=P(L)\ Х\, ..., х „]. Следствие выводится из теоремы с помощью математической индукции. Приведем некоторые сведения о первичном радикале алгебры Ли. При изложении мы будем следовать [1], в котором первичный радикал рассматривается для произволь­ ных неассоциативных алгебр. Назовем алгебру Ли первичной , если из того, что взаимный коммутант идеалов [U, V] = 0. следует, что U = 0 или V = 0. Скажем, что идеал / алгебры Ли L является пер­ вичным, если фактор алгебры Ли U 1 - первичная алгебра Ли. Назовем алгебру Ли полупервичной, если для любого ее идеала I из того, что [./, /] = 0. следует, что 1=0. Пусть L - алгебра Ли. Определим в ней следующую цепочку идеалов. Положим p0(L) = 0. Через р,(М) обозначим сумму всех абелевых идеалов произвольной алгебры ЛиM Далее, предположим, что идеалы р a(L) определены для всех ординалов а меньших ординала р. Если р - предельный ординал, положим pp(L) = (J р„(/-); если же р не явля- а<р ется предельным, то существует ординал Р-1, и мы определим pp(L) как такой идеал, что рр (L)/ pp_i(L)= pi (L/pp.,(L)). Если мощность ординала у больше мощности алгебры Ли L, то pT(L)=pY+i(Z.)=... Обозначим р У(Ь) через В(Т) и назовем нижним слабо-разрешимым радикалом алгебры L. Обозначим через Р(Т) пересечение всех первичных идеалов алгебры Ли L и назо­ вем его первичным радикалом алгебры Ли L.