Вестник ТГПУ им Л.Н. Толстого №2 2005

№ 2, 2005 ВЕСТНИК ТГПУ им. Л. Н. Толстого Отметим, что если X - банахово пространство с ограниченным базисом {ек}*=1 (т. е. sup ||ej <С), то любому х е X, х = а кек естественным образом соответствует мат- 1<А<оо А:=1 рица вида: , где Г= {е к} . Г Рх) с «1 а2 ■ [ г ; ке1 е2 ■ Рассмотрим пространство матриц Мр х ( Х ) , где Г = {ек}*=1, с нормой Ы УГ /II, HI {{Г) Таким образом, Мр х (Х) = { Определим оператор Т: Мра,(Х)^> X формулой т Тогда Т - линейный оператор. Так как I т I г = КС , > р= К)Г=,>I £ ек||<°°>- *= 1 = £ a fe* • *=1 ОС HI 2> (а ЛГ=, г V-1 у г, л , то Т - ограниченный оператор. Следовательно, мы имеем линейный непрерывный оператор Т, отображающий Мр х‘(Х) на X взаимно-однозначно. По теореме Банаха о гомеоморфизме, существует обратный оператор К = r ' ( Y a tek), который также является линейным ограничен­ ным оператором. Тем самым доказана теорема 2. ТЕОРЕМА 2. Всякое банахово пространство с ограниченным базисом X изоморф­ но банахову пространству матриц Мрх (X ) . т Будем называть случайными банаховы матрицы, у которых ос4= 1 Л=1 Таким образом, пусть МГ~ множество случайных матриц вида . М г=\| : P={pk}> 2>* =1 У i к= I Математическим ожиданием М Р Г ) случайной матрицы назовем элемент банахова )• пространстве X вида £ Ркек или Д А=1 Возникает вопрос: какие элементы банахова пространства X с ограниченным бази­ сом соответствуют случайным матрицам? Очевидно, что это элементы шара радиуса R = sup \\ек | банахова пространства X, lsA'fioo т. е. выполнено следствие 1. СЛЕДСТВИЕ 1.1) Норма математического ожидания случайной матрицы, соответ­ ствующей элементу банахова пространства с ограниченным базисом, равна норме этого элемента: И >где Рх ={Рк}^Рк =1- (п Л М Рх [ г А 120