Вестник ТГПУ им Л.Н. Толстого №2 2005

МАТЕМАТИКА № 2, 2005 Действительно, отсутствие полос и деновских областей на участках сг,, а 2 границы диаграммы Ёа вытекает из следствия 2.4. Наращивая с помощью ребер е х, е2 путь е2, не теряем свойство несократимости метки пути, поскольку вместе с наращиванием пути е2 ребрами добавляем области DA,DB к слою К га , которые имеют по три ребра вне пути а'2=ехо 2е2, а поэтому не могут способствовать наличию R - и R -сокращения в слове ф К ) . Лемма 2.8. Пусть - выпуклая дисковая С (3)- Г (б)-диаграмма с несократимыми метками участков границы а , г , тогда |Л^| = ‘ j + 2. Рассмотрим двухслойную Диаграмму 1)а из следствия 2.7. По лемме 1.8 в слоях этой диаграммы равное количество областей. Но слой К 2а диаграммы М короче слоя диа­ граммы 1}а на две области: ему не принадлежат области DA,DB. Поэтому утверждение леммы верно. Лемма 2.9. Пусть М - выпуклая дисковая С(3) - Г(6)-диаграмма с несократимыми метками участков границы ст, г , тогда j К \ j = |.А^ j . Для доказательства этого факта применим метод Математической индукции. Ин­ дукцию проведем по числу областей диаграммы М . 1. Если М - дисковая однослойная диаграмма, то утверждение леммы верно. 2. Пусть М - выпуклая дисковая диаграмма. Тогда поддиаграмма М {, полученная из М удалением К \ -слоя, является дисковой. Обозначим через Кт' тот граничный слой диаграммы А7,, который является поддиаграммой в слое К \ . По следствию 2.4 граничные метки (р{ах^ ,(р(т\дКха^ диаграммы М, несократи­ мы. Значит, к М х применимо индуктивное предположение, и граничные слои К 2а , К^' диаграммы содержат равное число областей. Замечая, что |ЛТ'| = |.A^| + 2 (области DA,DB из К \ не попали в К ^ 1), и ссылаясь на лемму 2.8, получаем: |АГ^.| = |+2= | К™' | +2= |А^ J , что и требовалось доказать. Осталось рассмотреть случай дисковой диаграммы М , не являющейся выпуклой, т. е. диаграммы, содержащей неправильные области. После удаления К [а -слоя она распа­ дается на несколько дисковых поддиаграмм, граничные метки которых являются несо­ кратимыми. Следовательно, по лемме 2.9, граничные слои этих поддиаграмм содержат равные количества областей. Таким образом, завершено доказательство следующей основной теоремы. Пусть М - связная односвязная диаграмма над группой G =(X;R) с условием С (3 )-Т (6), яв­ ляющаяся объединением дисковых диаграмм М ] , ..., М к и простых путей ух, ...,ук+1, таких, что дМ1 = ст. U , сг, П т: = {Д , B t} , i = 1, ..., к, причем вершины Bt , Ам являют­ ся концами путей ум , Ах - конец пути ух, Вк - начало пути ук+ ,. Тогда \р{г^хУ^2- ^ кУ^х\Z\<р{у<*Мт*кГы )| KI > где г0 - самое длинное слово в множестве R определяющих соотношений группы G . Эта теорема вместе с алгоритмами 1), 2), указанными во введении, и леммой 2.10 позволяет решать проблему вхождения в циклическую подгруппу в С (3)- Т (б)-группах. Лемма 2.10. Если R -, R -несократимые слова w " , v равны в С (3 )-Т (б)-группе G , то по лемме Ван Кампена [4] существует связная односвязная приведенная диаграмма