Вестник ТГПУ им Л.Н. Толстого №2 2005

№ 2, 2005 ВЕСТНИК ТГПУ им. Л. Н. Толстого Аналогично определяются границы К ” -слоев. Их обозначаем т" и т2 - внешняя и внутренняя соответственно. Замечание 2.2. Если диаграмма М не является дисковой, то ее К \ -слой не являет­ ся связной диаграммой. Если М - выпуклая дисковая диаграмма, то К хп -слой и К 2С -слой являются дисковыми диаграммами. Если М - строго выпуклая дисковая диаграмма, то ее К \ -слой, К 2п -слой и К'п -слой являются дисковыми диаграммами. То же верно для К\ -слоев. Лемма 2.3. Пусть М - дисковая С (3)- Т (б)-диаграмма с несократимыми гранич­ ными метками (р(а1) , (р{тх) где дМ = сг, U ^ . Тогда слова (р{сгх) , <р(тх) тоже несокра­ тимы. 1. Предположим, что в слове <p((J A) есть R -сокращение. Тогда из условия С (3) следует, что деновская область, реализующая это сокращение, имеет на участке сгj2 три вершины: X , Y , Z , где 6D П <зх —У - путь с концами X , Z , a Y - внутренняя вер­ шина этого пути. Из условия Т(6) следует, что вершина Y принадлежит четырем ребрам, образующим в поддиаграмме К'а полосу из трех областей, что противоречит несократи­ мости граничных меток диаграммы М . Значит, слово <р(сгх* ) R -несократимо. 2. Предположим, что в слове ср(ст х) есть R -сокращение. 2.1. Если R -сокращение реализовано полосой из трех областей, то из условия Т (6) следует, что в К хп -слое есть полоса из 5 областей. Это противоречит условию леммы. 2.3. Пусть R -сокращение реализовано полосой из более чем трех областей. Легко понять, что, как и в пункте 3 доказательства леммы Е8, из условия 7 (6) следует: парам 2-областей полосы соответствуют пары 2-областей К'а -слоя, а чередующимся 2- и 3- областям полосы соответствуют чередующиеся 2- и 3-области К \ - слоя. Это означает наличие полосы в К ха -слое, что невозможно. Лемма 2.3 доказана. Следствие 2.4. Если М - выпуклая дисковая С (3)~Т (б)-диаграмма с несократи­ мыми граничными метками, то после удаления К а -слоя получается дисковая С (3 ) -Т (б)-диаграмма с несократимыми граничными метками. То же верно и для строго выпуклой диаграммы. Следствие 2.5. Если дисковая диаграмма М не является выпуклой, то после уда­ ления Ка -слоя она распадается на несколько дисковых диаграмм с несократимыми мет­ ками, соединенных друг с другом простыми путями. Следствие 2.6. Слои К па и К ” дисковой диаграммы устроены одинаково: они представляют собой либо дисковые диаграммы, либо объединения дизъюнктных диско­ вых диаграмм, состоящих из 2-областей и 3-областей, чередующихся друг с другом и с парами таких же областей, причем пар 2-областей в каждой дисковой компоненте слоя ровно на одну больше, чем пар 3-областей, и такие пары в дисковой компоненте слоя че­ редуются друг с другом. Более того, используя принятые в пункте 2 данной работы обо­ значения А , В для общих концов путей D A, DB для крайних областей диаграммы М , делаем следующий очевидный вывод. Следствие 2.7. В выпуклой дисковой диаграмме М с несократимыми метками участков границы сг, г двухслойная поддиаграмма = К \ V)K2a , состоящая из слов К \,К 'а диаграммы М , имеет, как и в условии леммы 1.8, несократимые граничные метки путей сг, ехсг2е2 с концами А ,В, где ех - ребро с концом А , принадлежащее гра­ нице области D a , а е2 - ребро с концом В , принадлежащее границе области DB.