Вестник ТГПУ им Л.Н. Толстого №2 2005

МАТЕМАТИКА № 2, 2005 ся 2-областью. Та же картина и в K f* , только пара 2-областей - при вершине В}. Оче­ видно, в этом случае утверждение леммы верно. 6. Предположим, что в последовательности а к есть стоящие рядом -1. Тогда для соблюдения требования пункта 1 данного доказательства любая пара -1 разделяется па­ рой 1, причем пар из 1 должно быть ровно на одну больше, чем пар из -1. Между парами 1и -1 могут встречаться одиночные 1и -1, которые обязаны чередоваться друг с другом. Та же картина имеет место и в последовательности тк . Отметим, что из пункта 3 данного доказательств следует, что каждой паре -1 в одной последовательности соответ­ ствует пара 1 в другой последовательности. Обратное верно только частично. Чтобы вы­ полнялось условие R -несократимости слов <р(ст), <р(т), между любыми двумя парами 1 в последовательности должна встречаться пара -1. А рассуждения пункта 3 данного дока­ зательства приводят к выводу о том, что из условия Т (6) следует, что пара 3-областей между1Двумя парами 2-областей в М обязана иметь общую вершину с 2-областями из другого слоя. Нарушаться такое соответствие между парами 2- и 3-областей может толь­ ко для самых крайних в диаграмме М пар 2-областей. 7. Теперь легко понять, что диаграмма М распадается на поддиаграммы трех типов. Первый тип. Поддиаграмма из восьми областей, четыре из которых принадлежат одному слою, четыре - другому, причем этим областям соответствуют подпоследова­ тельности из С7К и тк вида 1, -1, -1, 1 и -1, 1, 1, -1. Здесь пары 2- и 3-областей имеют об­ щую вершину, как в пункте 3. Второй тип. Поддиаграмма, изображаемая подпоследовательностями в с к и тк из чередующихся 1и -1 : 1, -1, 1, -1, ..., 1, -1 и -1, 1, -1, ..., 1, -1, 1, где число единиц в одной подпоследовательности равно числу единиц во второй. Третий тип. Поддиаграмма, граничащая с областью DA или с областью DB. Ей соответствуют подпоследовательности сгк и zK вида (случай области Ол ): 1, 1, -1, 1, -1, 1, ..., -1, 1, -1 и 1, -1, 1, -1, ..., -1, 1, содержащие равные количества элементов и отличаю­ щиеся одна от другой тем, что первая начинается с пары 1, а во второй сразу начинается чередование. В случае области DB пара единиц появляется в конце одной из двух ука­ занных подпоследовательностей. . .г.. 8. Так как поддиаграммы всех трех типов содержат одинаковое число областей из АТ^и из K f 1, причем количества областей в этих поддиаграммах с ребрами на сг и г равны, то тем самым доказательство леммы 1.8 завершается. 2. СТРОЕНИЕ СВЯЗНОЙ ОДНОСВЯЗНОЙ ДИАГРАММЫ Определение 2.1. Пусть М - дисковая диаграмма с границей дМ = сгU г . Исходя из определения К 1а -слоя определим -слой как множество всех областей диаграммы М , которые имеют ребро или вершину на границе К ха -слоя, но сами этому слою не принадлежат: и D D<z(M\K'a ):aona*ri*0 Аналогично можно определить К па -слой при любом п и К ” -слой. В дальнейшем границу К ” -слоя будем разбивать на две части, внешнюю и внутреннюю, следующим образом. , При п > 1: внешняя - это а ", внутренняя граница - это <уп2 = \ дКпа ' . При п — 1: внешняя граница - это о\ = CTj = сг, внутренняя - это ст\ - дКха \ сг,.