Вестник ТГПУ им Л.Н. Толстого №2 2005

№ 2, 2005 ВЕСТНИК ТГПУ им. Л. Н. Толстого т-1 5 3 2 7=2 ' Рассуждая, как в пункте 1 доказательства леммы 1.6, приходим к противоречию с несократимостью слов ср(сг) , <р(т). Также просто доказывается ошибочность предположений i(D A) >2, i(DB) >2. Лемма 1.8. Если М - двухслойная С (3)-Т (б)-диаграмма с несократимыми гра­ ничными метками <р(сг) ,(р{т) : М - Ка U Кт, то \Ка\ = |-^г| • □ Из теоремы 1 следует, что /?-1 ( 'с \ m - 1 / с \ Z z Г -> (Д ') a l , (7) 7=2 V L У 7=2 Vz У поскольку вклад областей DA ,Z)g в сумму теоремы 1 равен 1. Рассмотрим поддиаграммы в слоях Ка ,К Т: п -1 14—\ к“ =и в; = К, \(Д и D ,), ту =[J D) =Хт\(д иГ>,). 7=2 7=2 1. Число 2-областей в поддиаграмме не менее чем на 2 больше числа 3- областей в К*в . То же верно для поддиаграммы К*в . Точнее, 2-областей ровно на две больше, чем 3-областей, так как в случае более сильного превосходства рассуждения пункта 1 доказательства леммы 1.6 позволяют сделать вывод об R -сократимости слова ф(а) или ф(т). 2. Из условия Т (6) следует, что вершина А; = dDA П К*в П К*в (и вершина В, = д ! \ П K f П Кх41< ) является общей для трех областей из К*в и для двух областей из или наоборот. 3. Заметим, что из того же условия Т { 6) следует, что любой паре 3-областей, имеющих в К^в общее ребро е с концами Se е а , 7’ е дК*в П дК 'и1 соответствует пара 2-областей в KfB с общим ребром d с концами Те = Sd и Td е г . 4. Кроме того, в K Af и в К Атн нет трех соседних 3-областей. Действительно, пере­ ходя от областей поддиаграммы К АВ к последовательности из .1 и -1,замечаем, что слева и справа от трех соседних -1 превышение числа 1 оказывается не меньше 5, т. е. с одной стороны не меньше 3, что, в соответствии с рассуждениями пункта 1 доказательства лем­ мы 1.6, влечет R -сократимость слова ф (о), что невозможно. Докажем, что число областей в К лв с ребрами на а равно числу областей в К АВ с ребрами на г. Как и выше (лемма 1.6), каждой 2-области поддиаграммы К АН сопоставим число 1, а 3-области - число -1; каждой 2-области поддиаграммы К*в сопоставим 1, 3-области сопоставим -1. Поддиаграммы К ^ 3, К^в иллюстрируются последовательно­ стями из единиц и им противоположных, которые обозначим < ук и тк соответственно. Мы знаем, что в каждой из двух последовательностей 1ровно на две больше, чем -1. 5. Предположим, что в последовательности а к нет стоящих рядом -1. Поскольку сумма элементов последовательности <УК не меньше двух, то из пункта 2 данного дока­ зательства следует, что диаграмма М устроена следующим образом: при вершине А{ в К АВ - две 2-области, за которыми следует чередование 3- и 2-областей, заканчивающее