Вестник ТГПУ им Л.Н. Толстого №2 2005

МАТЕМАТИКА № 2, 2005 Итак, предполагаем, что в Ка -слое есть области с числом внутренних ребер рав­ ным 2 или 3. Поскольку 2,5 - 2 = 0,5, а 2,5 - 3 = -0,5, то для выполнения неравенства (1) необходимо, чтобы число 2-областей как минимум на 3 превышало число 3-областей. Рассмотрим последовательность из 1 и -1, где 1 соответствуют 2-областям, а -1 со­ ответствуют 3-областям Ка -слоя. В этой последовательности 1 как минимум на 3 больше, чем -1. Если -1 в последовательности и, то 1в последовательности (и + 3). 1.1. Расставив по одной 1 в промежутки между -1, включая первую и последнюю позиции в последовательности, замечаем, что две 1остались без мест. Если оставшиеся две 1поместить в один промежуток между -1, то получим в Ка - слое полосу из трех 2-областей, что противоречит условию леммы. Если оставшиеся две 1 поместить в два разных промежутка, то получим в К а - слое полосу. 1.2. Предположим, что в некоторые промежутки не попала ни одна 1. Пусть число пус­ тых промежутков равно к. Тогда промежутков с 1 - (и + i - к), а вся последовательность, со­ поставленная К а -слою, распадается на (к 4-1) частей, отделенных одна от другой промежут­ ком без 1. Некоторые из таких частей могут быть пусты. Их исключим из дальнейших рассуждений. Число остальных не превышает (к + 1). При этом в упомянутых (к + 1) частях последовательности должны разместиться еще (к + 2) «лишних» 1. Согласно принципу; Ди­ рихле в одну из частей последовательности попадут не менее двух «лишних» 1. Рассуждая, как в пункте 1.1, приходим к противоречию с R -^-несократимостью слова ср(а). 2. Предположим, что в диаграмме М есть область Dд , но нет области Ofi, о кото­ рых идет речь в лемме. Поскольку в диаграмме М нет неправильных областей, i(D ^)> 2, и ее вклад в сумму из теоремы 1 не превышает 0,5. Тогда вклад остальных областей диа­ граммы в эту сумму должен быть не меньше 2,5. Поскольку вклад одной области в сумму равен (2,5 - i (О)), a i ( D ) - целое число, то (2,5 - / (D)) делится на 0,5. Теперь ясно, что должно выполняться хотя бы одно из неравенств: В этих неравенствах значения индекса j начинаются с двойки, поскольку вклад об­ ласти D j уже учтен, и она не участвует в суммировании. Итак, мы снова оказались в условиях пункта 1. Повторяя его рассуждения, прихо­ дим к противоречию с R -несократимостью слова <р(ег) или слова (р{т) . 3. Если предположить, что в диаграмме М есть области с числом внутренних ребер большим 3 или что вершины А, В принадлежат граничным циклам более чем 2-областей, то превышение числа 2-областей над 3-областями будет больше, чем рассмотренное в пункте 1, и все рассуждения пункта 1 останутся в силе. Лемма 1 6 доказана. Замечание 1.7. В диаграмме М из леммы 1.6 нет областей внутренней степени 4 Действительно, при i(DA) = i(DB)=2 вклад областей DA,DB в сумму теоремы 1 равен единице. Значит, вклад остальных областей не меньше двух. Если М содержит область D : i(D)> 4, то 2,5 - i(D ) <-1,5, и имеет месЗо одно из следующих неравенств: ( 3 ) (4) /(£>) >4 (5) 111