Вестник ТГПУ им Л.Н. Толстого №2 2005

№ 2, 2005 ВЕСТНИК ТГПУ им. Л. Н. Толстого Области в Ка К х -слоях диаграммы характеризуются числом внутренних ребер. Области с к внутренними ребрами будем называть ^-областями. Области D ° ,D ] ,D ° ,Dm будем называть крайними областями слоев К 0, АГТ,а ос­ тальные области этих слоев будем называть внутренними. Заметим, что внутренних об­ ластей в слое может не оказаться, если этот слой состоит из двух областей. Определение 1.4. Дисковую диаграмму М назовем выпуклой, если в слоях Ка ,Кт нет обших внутренних областей, и назовем строго выпуклой, если граничные циклы внутренних областей слоя К а не имеют общих точек с граничными циклами внутренних об- существование которых доказано ниже. Лемма 1.5. Ка-К х -слои дисковой диаграммы М с R -Д-несократимыми гранич­ ными метками ср(ст),ф(т) не содержат областей D таких, что дОгла(дОп т )- несвязное множество. Утверждение леммы 1.5 доказывается так же, как это сделано в классе групп с ус­ ловием С(6)-7'(3) [2]. Надо рассмотреть поддиаграмму М 0, содержащую область 1) и все области из М , заключенные между областью D и путем а . К диаграмме М 0надо при­ менить теорему 1, что приведет к противоречию с неравенством из этой теоремы или к противоречию с несократимостью слова <р(сг) . Лемма 1.6. Пусть М - приведенная дисковая диаграмма с границей д М =а и х,агл х={А,В} - вершины, причем ср(сг), ср(т) ,К-, R -несократимы. Тогда, если в М все области правильные, то существуют области граничные циклы которых содержат вершины А, В соответственно, пути д [ )Аглс, д В А^ х, а / ) 8п т содержат ребра и i{DA)-i(DB)=2. Заметим, что из леммы 1.5 следует, что Ка-,К Х-слои диаграммы М , удовлетворяющей условиям леммы 1.6, не содержат областей D таких, что д D о.а или д D от несвязно. Поэтому неправильная область D в диаграмме М с несократимыми граничными метками ф(сг),(р(т) должна быть такой:* д D гла и дОгл т ^ 0 . 1 Предположим, что в диаграмме М нет областей D.h DB, о которых идет речь в лемме. Тогда вершины А, В принадлежат границам как минимум двух областей каждая: Докажем, что сделанное предположение противоречит теореме 1. Из теоремы 1 следует, что выполняется хотя бы одно из неравенств: Пусть верно первое из неравенств. По условию в диаграмме М нет деновских об­ ластей и полос. Поэтому К а -слой состоит только из областей с более чем одним внут­ ренним ребром. Докажем, что при наличии в Ка -слое областей с числом внутренних ребер не превышающим 3 неравенство (1) не может быть выполнено. Из этого будет вытекать невозможность выполнения неравенства (1) при наличии в Ка -слое областей с большим чем 3 числом внутренних ребер. ластей слоя Кт, кроме вершин дD\ гтс7)г г~ЛУ2 и ?D l - ^ (~!Dl, /Х> А е д 1 Х глд [$ ,В е d jX глдВ'п, ( 1 ) ( 2 )