Вестник ТГПУ им Л.Н. Толстого №2 2005

№ 2, 2005 ВЕСТНИК ТГПУ им. Л. Н. Толстого При этом метка граничного цикла любой области из М является словом из симметризо- ванного множества R. Одним из основных для нас является следующее утверждение. Лемма Ван Кампена [4]. Пусть R - симметризованное множество слов в алфавите X, N - нормальное замыкание множества R в свободной группе F(X), G —группа с ко- представлением G-(X; R). В этом случае слово w из F тогда и только тогда принадлежит множеству N, когда существует связная односвязная диаграмма над группой G, гранич­ ная метка которой равна w. Ниже будем использовать следующие обозначения. Буквой G будем обозначать группу с копредствалением G=(X; R), где симметризованное множество слов R в конечном алфавите X удовлетворяет условиям С (3 )-Т (6). Для любого слова w символом w* будем обозначать одну из его циклических переста­ новок (какую именно, будет ясно из контекста). Слово w называется циклически приведен­ ным, если любая его циклическая перестановка w* несократима в свободной группе F=F(X). Символом \М | будем обозначать число областей в диаграмме М. Области Di, Д2диаграммы М образуют сократимую пару, если их граничные цик­ лы 5Ь52 имеют общее ребро е , т. е. S] = ее\е2...е„у2— eAf\f2...fm, причем (р(е\е2- e j = =<Р(Г*Г±л -А1)- Диаграмма М , не содержащая областей, образующих сократимую пару, называется приведенной. Как доказано в [10], слово, представляющее элемент группы G с условиями С(3)-7'(6), является куском тогда и только тогда, когда это слово имеет длину 1. Поэтому граничные ребра диаграммы М определим как пути в граничном цикле дМ, имеющие метки еди­ ничной длины. Число внутренних ребер области D диаграммы М обозначим через г(Д). Назовем число d{D) ребер в граничном цикле области D степенью области D. Заме­ тим, что если М - приведенная диаграмма над С(3)-7'(6)-группой, то из того, что метка любого внутреннего ребра диаграммы является куском, следует, что для любой области D, не имеющей граничных ребер, d(D)> 3. Из условия Г(6) следует, что для любой вер­ шины, не являющейся в М граничной, d(v) > 6. Если D - граничная область карты М , то пересечение 8DC\5M будем называть по­ следовательной частью границы карты М при выполнении следующих условий: - дОПбМ - объединение замкнутых ребер ё\, ..., ё„; - ребра еь ..., еп встречаются в этом же порядке в некотором граничном цикле для D и в некотором граничном цикле для М. Перейдем к основным для нашего исследования определениям. Определение 7. Рассмотрим диаграмму М над группой G с условием С(3)-7’(6). Гра­ ничная область D с: М называется деповской, если 1) dDC\dM - последовательная часть границы дМ: 2) ЦП) G {0,1}; 3) если D - деновская область в диаграмме М, то слово (p((d£>U дМ )\дОГ\дА4 ) не­ сократимо в свободной группе. Определение 2. В слове v из F(X) есть /(-сокращение, если существует слово re R такое, что: 1) либо v=V)v2v3,, r=v~ ' гъ |г21= 1 и в словах v,r2, r2v3 нет свободных сокращений; тогда /(-сокращение состоит в замене слова v словом vir2v3; 2) либо v=Viv2v3( r=v2, слово У)У3, возможно, сократимо в F = F{X), тогда /(-сокращение состоит в замене слова у словом с дальнейшей заменой последнего равным несократимым в F словом. к Определение 3 [6]. Полосой в диаграмме М называется поддиаграмма П = (J /); со /=1 свойствами: 1) dD f\dM =р - подпуть в граничных циклах областиД и диаграммы М; 2) дППдМ - последовательная часть границы дМ ;