Вестник ТГПУ им Л.Н. Толстого №2 2005

№ 2, 2005 Конечное множество R циклически несократимых слов в алфавите X назовем сим- метризованным, если вместе с каждым словом re R слово г 1 содержится в R. и все циклические перестановки слов г, г 1 содержатся в R. Общее начало двух различных слов из R называется куском. Произведение слов V/Vi в алфавите X называется приведенным, если последняя буква у„ слова Vj не совпадает у~ , где у\ - первая буква слова v2. Конечное симметризованное множество R удовлетворяет условиям C(p)&T(q), если: - никакое слово г из R не представимо в виде произведения I кусков при / < р (условие С(р)); - для любой последовательности rx,r2,...,rh из h слов из R, 3 < h <q, в которой ни­ какие два последовательных слова , гм не являются взаимно обратными, хотя бы одно из произведений гхГ2, Г2Г3, ..., ГПГ} свободно несократимо (условие T(q)). В этой работе будет рассмотрен класс групп с условиями С(3)- 7'(6). Перейдем к изложению идеи используемого в нашей работе геометрического под­ хода. Начнем с понятия карты Ребром на евклидовой плоскости Е2 называется ограниченное подмножество из Е2, гомеоморфное открытому единичному интервалу. Вершина - точка из Е2. Область - ограниченное множество, гомеоморфное открытому* единичному кругу. Вершина А на­ зывается граничной в карте М , если она принадлежит границе карты: А е дМ . Ребро е называется граничным, если eczdM . Область D называется граничной, если ее граница 8D содержит хотя бы одну граничную вершину. Картой на евклидовой плоскости Е2 будем называть конечный набор попарно не- пересекающихся вершин, ребер и областей, удовлетворяющих следующим условиям: - для любого ребра е существуют вершины А, В (не обязательно различные), такие, что замыканием е ребра е является множество e -ee j {А} 1Д {В}; - внутренним (не содержащимся в границе дМ карты М) ребром с концами А, В на­ зывается гомеоморфное отрезку^ пересечение границ двух областей Д , D2 с: М такое, что любая точка множества ё\{А,В} обладает окрестностью, в которой есть только точки множества Д kj D, e je , и в этой окрестности есть точки из Д , из Д и из е; - граница BD каждой области D из М связна, причем, для некоторых ребер е ь ..., е„ из М имеем dD~e \\j ... ё„. ' Перейдем к понятию диаграммы над группой G=(X; R). Будем рассматривать ори­ ентированные карты. Ребра с противоположной ориентацией и концевыми вершинами А, В будем обозначать е и с~‘ либо с указанием начала и конца: АВ и ВА. Путь - это последовательность из ориентированных замкнутых ребер ег, .:. ,е„, в ко­ торой конец ребра е, совпадает с началом ребра ем . Если начало первого ребра пути сов­ падает с концом последнего ребра, то такой путь называется замкнутым, или циклом. Путь называется приведенным, если он не содержит пары следующих друг за другом ре­ бер вида ее '. Путь называется простым, если при / Фj входящие в него ребра ек е,- имеют разные начальные вершины. Граничным циклом области D называется любой замкнутый путь минимальной длины, содержащий все ребра границы 8D и ориентированный так, что обход границы с!) по этому пути осуществляется по часовой стрелке. • . , Граничным циклом связной односвязной карты М называется замкнутый путь ми­ нимальной длины, содержащий все ребра границы дМ , в котором никакое ориентиро­ ванное ребро не встречается дважды, причем этот путь ориентирован так, что обход гра­ ницы дМ по этому пути осуществляется против часовой стрелки. Последнее означает, что если карта М представляет собой объединение двух кругов, имеющих единственную общую точку на границе («восьмерка»), то при движении по граничному циклу дуги гра­ ниц обоих кругов обходятся против часовой стрелки. Диаграммой над группой G (X; R) называется ориентированная карта М вместе с функцией (р , сопоставляющей каждому ориентированному ребру е из М метку ср (е) - слово в алфавите X таким образом, что для любой пары противоположно ориентирован­ ных ребер е, еЛц>(еЛ) =ср (е)Л, а для любого пути е-, е„ из Л/ <р(е\...е J - <$(ёу)... cpfej.