УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

Рассмотрим, дал ее, F— систему R нормализатора Р. По теореме [1], т), которую мы цитировали выше, в R обязательно входит полная нуль-алгебра L— ядро алгеб­ ры i\. Если R содержит еще аффиноры, целиком распо­ ложенные в квадратах Q,, то это могут быть лишь аффи­ норы вида N= [AL], (23) (АеНгя, KgL™), которые содержатся в нормализаторе 5 (точнее, в его подалгебре Ргл). На стр. 4 мы отмечали, что в алгебре Л и в ее ортогональном дополнении L существует базис, составленный из аффиноров, корневых относительно S. Поэтому всякий аффинор вида (23), в силу теоремы (3), будет принадлежать к некоторому корню нормализатора Р. Базис, составленный из корневых аффи­ норов нормализатора Р, можно выбрать также и в его /■— системе R, которая является, как известно, инвариантным подпространством относительно преобразований присоеди­ ненной алгебры Рпр. Покажем, что ни один корневой аффинор Л/« нормали­ затора Р, входящий в ортогональное дополнение N нор­ мализатора Р и не принадлежащий ядру L, не может вой­ ти в нормализатор, т. е. не может войти в F— систему Р нормализатора Р. В самомделе, если а = 0, то, в силутеоремы <р), N* не можетвойти в R. Пусть &Ф0. Допустим, что Л/аеР. Тогда, по определению нормализатора, [AW]e/f (24), для всех ЛеА. Возьмем аффинор ДреА, отвечающий корню 6 нормализатора Р. Тогда в силу (24), [N,AP]eA: (25) Но известно (см., например, [2]), что всегда [NaA?]eL. (26) Из соотношений (25) и (26) следует, что [AWpJeP, (27) где F — F— система алгебры К. Но К— ортогонально-допол­ няемая алгебра, и, следовательно (см. [ l J, § 3), а + р= 0. (28) 85