УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

вырождается, т. е. не попадает в F—систему алгебры А, в том и только том случае, если ни один из коэффи­ циентов те, р,...,<в в формуле (9) не равен нулю и если в алгебру К входит также аффинор Е-а вида (10), при- нзолежащий корню —а нормализатора S, причем также ни один из коэффициентов е, х,..., v в (10 1 не равен нулю. В регуляр ном случае (т. е. если Еа не вырождается) имеют место слеоу ющие свойства: а. и - а. одновременно являются корнями нормализатора в обычном смысле; в алгебре А сооержитсп ровно по ооному корневому аффинору Еа и Е-а. Все аффиноры полной линейной алгебры, принадлежащие относительно нормализатора обоб­ щенному корню я (—а), входят в состав линейной системы А 4- L, где L—ортогональное дополнение алгебры К. Нормализатор любой матричной линейной системы обладает свойством „расщеплиемостиа (Мальцев, |4], теор. VIII). В силу этого свойства, 8 ) Среди базисов Г-алгебры Ггнормализатора Р сущест­ вуют такие , чти одни из составляющих базис аффиноров принимают диагональный вид, когда в качестве коорди­ натных взяты, весовые векторы, а остальные имеют все характеристические числа, равные нулю. Если веса Л,, ...,ЛП нормализатора— все простые, то ясно, что корень а =0 могут дать лишь разности весов вида Л( Л| — Aj Л — ... = Лп Лп. Но тогда корню О будут принадлежать лишь диагональные аффиноры. Значит, А—алгебра Гя нормализатора Р, по­ строенная относительно некоторого регулярного аффинора S0 g P, состоит из аффиноров, имеющих при канониче­ ском для базисе пространства диагональный вид. Так как S0^ r s, то последнее относится и к Л0. Таким образом, е) если нормализатор Р не имеет кратных весов, то общий аффинор его Г-алгебры ! , приводится при каноническом относительно Г5 базисе пространства к диаго­ нальному виду, и, следовательно, алгебра Г s— абелева. Так как А1—система любого нормализатора является нуль-алгеброй {см. [ 2 ], теорема £)}, то диагональные аффи­ норы в нее войти не могут (ибо если их характеристиче­ ские числа равны нулю, то и сам аффинор равен нулю), т. е. '<р) если нормализатор Р не имеет кратных весов, то ни один 82