УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

Будем называть всякий аффинор, входящий в F— сис­ тему алгебры н, вырождающимся аффинором алгебры К Если ни один корневой относительно корня —а нор­ мализатора Р аффинор Е-а не принадлежит /\, то аффи­ нор Еа наверное вырождается. Пусть хоть один £_* ви­ да (10) содержится в К. Вычислим след исполь­ зуя формулы (9) и (10): \Е*Е-а\ = +р* +«*■+... + + (14) Если хоть один из коэффициентов тс, р, а,...,т,(в в (9) равен нулю, то условие (13) дает: \ЕЛЕ-а\— 0; и так как это рассуждение применимо ко всем Е~аъА то ЬЛ вырождается. Рассуждая аналогично, на основе соотношений (13) заключаем, что при этом коэффициенты г, х, I , ..., p.,v, аффинора Е-а все также должны быть отлич­ ны от нуля. Таким образом, аффинор Еа вида (9) может быть не вырожденным аффинором алгебры К, т. е. может не вой­ ти в /■—систему алгебры К, лишь в том случае, если ни один из коэффициентов тс, р, ...,«> не равен нулю; иначе говоря, если корневой аффинор Еа представляет собой линейную комбинацию с неравными нулю коэффициен­ тами всех координатных диад E,s, ... , Ерг, отвечающих равным межд$ собой разностям (8). При этом в алгебру К обязательно входит и хотя бы один корневой аффи­ нор Е-а, отвечающий корню —а нормализатора Р, также представляющий собой линейную комбинацию соответ­ ствующих координатных диад с неравными нулю коэффи­ циентами. Следовательно, и корень —а является в этом случае корнем нормализатора в смысле обычного опре­ деления. Тот случай, когда аффинор Еа не вырождается, на­ зовем регу гярным. Покажем, что в регулярном случае в алгебру /ч должно войти ровно по одному корневому аффинору Еа и Е-а, отвечающим корням а и—а норма­ лизатора Р. В самом деле: допустим, что в алгебру К входы два корневых аффинора ЕЛ, Е'Л, принадлежащих корню * нормализатора Р. 79