УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

Пусть а =А, —А, = Ag - А„ = Лк - А, = ... = Лт - Л„ = = л р~ Аг— (8) корень нормализатора (в обычном смысле слова), где веса, Aj, 1 *g,...,Am,Ap и Aj, Ajj, А|,.1Ф|ЛП, Лг по условию, все между собой различны. Пусть Еа = кЕц + р Egh+ °EU+... - f т Ета -f ш£рг, (9) Е -л~ вЕ}{+ %ЕЧ + ХЯ1к + ... 4 рЕпа + »£■,„- (10) корневые аффиноры, принадлежащие корням а и х алгебры Р, причем Еа е К , Я-* е Р (т. е. а и —я—кор­ ни нормализатора в собственном смысле слова). Составим коммутатор вида На= [Еа Zf_a|. (11) По теореме а), коммутатор Нл принадлежит корню а 4 - 4 (—а) =0 нормализатора Р. Значит, аффинор На, принад­ лежащий, в силу (2), алгебре К, входит в Г-алгебру /'. нормализатора Р. Вычислим коммутатор [11], используя выражения (9) и (10), а также формулы умножения коор­ динатных диад: р р _ 10, если j ф А, 1J hk i£ ik, если j —h. Тогда получим: Нл—ке.(Ец —ZTjj)4- P*(^gg—^hh) + ••• 4" + ^(fmm—^гп) + Н^рр— ЕЛ (12) Условие (8) должно выполняться тождественно для всех весов нормализатора. Применяя его к аффинору Н,, получаем: 2тсе= 2рх—2аХ= ... = 2 ^ = 2<*>v, или тсе = рх = аХ = ... = Tjx =s < dv (13) Из теоремы р) следует, что корневой аффинор Ел, принадлежащий корню а нормализатора Р, ортогонален ко всем корневым аффинорам, принадлежащим корню (3, если я 4- р ф 0. Следовательно, аффинор Еа е А принад­ лежит /"—системе алгебры К, если он ортогонален ко всем аффинорам Е_а, входящим в К. 78