УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

как корневой аффинор координатная диада1 Ец. Ясно, что если а—Л,—Aj —такой обобщенный корень, то он является корнем алгебры S в обычном смысле, если хоть один из принадлежащих ему корневых аффиноров Еа со­ держится в S. Если некоторые разности весов нормализатора между собою равны, например, а= Л, — Aj — Л„ — Лк= ...= Лр— Aq, Iо корневой аффинор, принадлежащий обобщенному кор­ ню а, будет представлять собой линейную комбинацию координатных диад Еи, EhK,..., Epq: Еа—Щ, -)- + ... + «Bfpq, (6) аде коэффициенты X, р.,...,® произвольны. Легко прове­ рить, что для случая обобщенных корней остаются спра­ ведливыми следующие предложения, верные для корней в обычном смысле слова {см.[3] или [2], а)—т)} а) если И, Ел Е$ — корневые аффиноры нормализа­ тора, принадлежащие соответственно норннм О, лф О, Рф —а, то все характеристические числи аффиноров Е\, НЕЛ, £,£■(? равны нулю; в частности, при указанных условиях {НЕЛ\= 0, [=0 (7) п (3) если Ех, Е? — корневые аффиноры , принадлежащие соответственно корням а и то их коммутатор [Е^Ер] принадлежит корню a-f-j3. Пусть теперь среди весов Л,,.... Л„ нормализатора Р линейной алгебры Ли нет одинаковых и пусть L— орто­ гональное дополнение алгебры К . В силу определения нормализатора, алгебра Л и ее ортогональное допол­ нение L являются инвариантными подпространствами относительно преобразований присоединенной алгебры Р"р нормализатора Р (причем К обязательно содержится а нормализаторе 5 и является для него нормальным де­ лителем, а L может, вообще говоря, не содержаться в Р). Поэтому и в К и в L может быть выбран базис, состав­ ленный из корневых относительно Р аффиноров Еа. 1Координатной диадой будем называть аффинор, матрица которого имеет следующее строение: на пересечении <-й строки и у-го столбца стоит 1, а все остальные места заняты нулями. 77