УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

Выберем регулярный (см. [3]) аффинор S0 алгебры Р. Тогда аффиноры Н е Р, принадлежащие относительно 50 корню О, т. е. удовлетворяющие условию (S 0ПУН = 0 , (3) где 0—некоторое целое число, образуют максимальную нильпотентную подалгебру /,—Г- —алгебру алгебры К (см. [2]). (о0"р—аффинор присоединенной алгебры, соответ­ ствующий аффинору S0kP, т. е. определяемый равен­ ством 50прА—[30S|). Корни характеристического полинома алгебры S отно­ сительно общего аффинора Н ее /—алгебры называют корнями алгебры. Р. Если а—корень алгебры Р, то аффиноры ЕЛ, удовлет­ воряющие условию (а—Л"Р)»£. = 0 ( 4 ) при некотором целом 0, называются корневыми аффино­ рами (см. |3|). Характеристические числа Л,, Л2,..., Лп об­ щего аффинора Н <•/3 называются весами алгебры Р. Векторы х, для которых (Н-А)"х = О, (Н-А)"-1хфО (5) при некотором целом h, называются весовыми векторами, принадлежащими весу Л с краткостью h. 2. Остановимся на свойствах таких линейных алгебр Ли /\, нормализатор которых не имеет кратных весов. Для этого предварительно несколько обобщим понятие корня нормализатора. Именно, известно, {см. [3]J, что всякий корень а любой алгебры представляет собой разность двух ее весов: а = Л;—Aj. Обратное, однако, не верно: не всякая разность 0hk— =Ah—Лк двух весов некоторой алгебры является ее корнем в смысле приведенного ранее определения. Назовем обобщенным корнем нормализатора S всякую разность двух ее весов. Известно, что в полной линей­ ной алгебре „обобщенному корню" а—Л;—Aj отвечает 76