УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

Но в этом случае /(х,у )=2 Ьху-[-су', т. е. /(х, v), а сле­ довательно и Q(x, у) делится на у и разложение Q(x,y) на множители не представляет труда. Пусть теперь нам даны две формы 4-й степени F(x,y) и F(x,y). Если одна из этих форм переходит в другую посредством рационального преобразования 7, то вследст­ вие ковариантности Q(x,y) —якобиан формы F(x,v) пере­ ходит от преобразования Т в Q (х, у) — якобиан формы F(x, у), а значит и квадратный множитель 1(х,у ) якобиана Q(x,_y) переходите квадр иный множитель/(х,у) якобиа­ на Q(x,y). Таким образом мы свели вопрос о преобразовании форм 4-й степени к аналогичному вопросу для квадратичных форм. Сделаем в конце несколько замечаний. 1. Поскольку форма f(x, у) определяется с точностью до постоянного множителя, то и преобразование 7 также определяется с точностью до постоянного множителя. 2 Если F(x,у) и F(x,v) имеют четверную группу Галуа, то мы имеем по три квадратичных формы для каждой из форм F(x,y) и/\х,.у). Резольвенты также имеют по три рациональных корня. Надо соединить их должным образом, чтобы правильно вычислить /,, /2 и /3. Правильность со­ четания коэффициентов можно определить хотя бы путем деления Q(x, у) на предполагаемые значения /,, /2 и Далее в качестве f(x,y) можно выбрать любой из трех множителей. 3. Приведенное необходимое условие наличия преобра­ зования 7, переводящего форму F(x,v) в F (х, у), отнюдь не является достаточным. Более того, можно указать це ­ лые типы форм 4-й степени, имеющих одно и то же зна­ чение /(х, у). Так, например, если 7"(х, у) = ах 4 -f Ьх'у3 + су*, то /(х,у) = ху. Если F(x,y) = ах 4 4- Ьх3у 4 - сх3у 2 4- Ьху 3 -f ay*, то /(х,у) = х*—у’ . Если Р(Х,У) = ах*—Ьх3у 4 - сх2у г 4 - Ьху3 4 - ау*, то f[x, у)—х 14 - у 2 и т. д. В качестве иллюстрации метода решим пример. Найти преобразование, переводящую форму F(x, у ) = х* — 8 х 2 у 2 —