УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

/ n \p|q n < ( £ “?) ■2p|S fn JK i^ , y )|q^ ] PlVA:- j|/i (y ,w)- /i(y, v)\vjy + Hf lKiK y t d y f ' d x • J|/i(y, v) - f a - - 5,M№ < ( ^ r • 8 1c, + + ° i } < RP’ еСЛИ ~ W,P^ < |2 • £ a? | I C] то есть p[u, w] < R. Таким образом: p[0,(w), v] < R, если p[y, w] < R, то есть элементы сферы S(v, R) переводятся оператором 0x(w) в часть той же сферы. По теореме Шаудера заключаем, что существует не­ подвижный элемент w=0j(w), причем w eS{v,R). Следова­ тельно, решение уравнения (1) существует и находится в сфере S{v,R), где v — решение уравнения (2). На основании последних двух теорем можно сформу­ лировать следующую теорему: Т е о р ем а IX Уравнение u(x) = <p[x,$Rl (x , y ) f1( y ,u)dy , . . . , jKn(x, y ) f a(y, u)dy] имеет решение в сфере радиуса 2 R в пространстве Z.p, р > 2 вокруг решения линейного уравнения V(X) = ZarfKiix, у ) [М у ) + (у)] dy +/ (* ) при наличии следующих условий: 1- ЯЛ«*(*.:у)1ч^ Г ^ = Сь сх — константы i— 1,2, . . , п. П R 2. cp (х, Z], Z2, • . . 52n) ^ aizi /(•*)!< 1 +11р Гр ' i=l 2 • П 244