УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

Шаудера заключаем, что существует неподвижный эле­ мент и—О (и), где u eS ( v , R). Т е о р е м а VIII Уравнение П 1. W(x) = S a.iAi(w)+f(x), где! (л)—непрерывная функция i-i на Е (Е— множество, по которому распространяются интегралы), а, —константы, г—1,2, . п, имеет реше­ ние в сфере радиуса R пространства Z,p, р~> 2 вокруг решения линейного уравнения: 2. v (x )= +5i(v)]yy+f(Ai). i-i если выполняются условия: 1. |f;(y/, w ) ~ ^ ( y ) - ^ i ( y ) | < С ----------------------R— ------------------• Cil p .21+1!p. « l p . [ ( S a iq)Pl4]1!P i-l W 1— w 2 C,l ip. 21+1|p. « 1!p. [( 2 aiq)Pl4]1'P i=1 3* y)Sqfl,v]Pl4— Q—константы /—1,2, . . , n pi, ( /=1 , 2 , . . , n) — константы, Sj (у) —суммируемые со степенями „р“ функции. Д о к а з а т е л ь с т в о Будем рассматривать правую часть уравнения (1) как оператор О^®). Нетрудно убедиться в том, что оператор O^ai) является компактным и непрерывным относительно семейства функций ограниченных в пространстве Lp, (P>2) . Действительно, из условия (3) видно, что fj( у, w)— не­ прерывны относительно второго аргумента ,w“. Далее, jlfj (у, да)!рУу < flftwi - £Ду) + — \vdy через обозначен знаменатель правой части в условии (2). 242