УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

Допустим, что существует решение v{x) уравнения v[x) = S «j JAj (к, у) f, (у, и) dy + f(x) 1-1 Покажем, что р[0(и),г/]</? для любой функции и(х), такой что р (u,v)<R. Действительно, Рр[0(a), v] |<р(х, 4 , (и),. . . , Ап(и)) — 2 я, Л,- (о)— f(x) |pdx = » i- i —11 ф(^> Ay[ii), • . . ,Лп(л)) ф(-^»Л1(и), . . . , Лп(и))4- + ф(х, Л,(о), . . . ,Лп(и))— £ а|Л((г>)—f(x)|pdx< i-1 <2рЛ ф(х, ЛЦи), . . . , л п(«)) - ф ( х ,Л » , . . .Hn(w))|pdx+ + 2рЛф(х, A,(v) .................. Aa[v)) — £ a, Afa) — f(x) |pdx < i-i < 2 pJ[ £ Mi\Hu ) - ЛM ] p dx 4- 2pj|<p(x, Ax(y),. . . ,An{v))~ i—1 n n p|q - £ ai4i(t;)-f(x)|pdx<2p( £ Mq) • Я№>У)1 X i-1 i-1 X|fi(y,«)— fi(y,T»)ldyjpdx4-2pjicp(x,41(u', . . . ,Л„(г/))- n n plq p|q - £ «j A{(v) - f(x)|pdx < 2P( £ Mq) • J[J|Aj (x, y)|qdy] X i-1 >-l X J|*i(y, M)—fi(y, o)|pdy+ 2pf| ф ( х , A,(v), . . . , Лп(®))— n n vPlq - £«i4 i( 'H) -f (x)pd x< 2 p( £ Ж4) X i- i 4 i- i 1 X [flPi(*,y)lqfo]P:V * - - ........................... 5 ---------- 4- WMx. y)l4dy]plqd-« •2P+1• n( £>Mq)plq i-i + 2p . 21+p • n Таким образом р[0(ц), v] < Rp, то есть оператор О (и) переводит элементы сферы S(v, R) в часть той же сферы. Согласно теореме 16 Ученые записки. VII 241