УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

Те ор ем а VII Интегральное уравнение (1) “(x) = <?[x,SK1(x, y) f1(y ,u)dy , . . J f t n(x,y)f п(у, и) dy] имеет решение, заключенное в сфере радиуса R простран­ ства Lp, р>2, вокруг решения уравнения v (x )= £(*iJAj(x, y)f, (у, v)dy-\-i (х) i-Г если выполняются условия Z2l •> 2„) Z\1 Zg, . . . , Zn)|^ n < М0 \х— х г\+ — г\\. i-l ,cP(^i г 1’ z2i • • • i zn) S «iZ-j f(.x)/<[ Г+iTp ijp • i—l 2 • n 3- |fj(T, « i )- f i (y , » 2)|< ^ ______________________!“i— ц?______________ \ {jfJIWil-*. У)1^]Р|Ч^ } 1|Р. ‘2 +^ ■ «1,p{( S ^ ) plq [1,p. i- l 4. J [ J | R{(x, у)|ч^у]р1ч= C[, C{— константа 5. |fp(y, n)\ < В,(у), где Д(у) —суммируемая в степени * р л функция для всех таких, что J | и |рг/л<Л; i — 1,2, . . . ,п f(.x)—непрерывная функция на Е и а;, Mlt С,—константы 6. J’|ср(х, 0,0, . . .0) |р dx <( Е. До к а з а т е л ь с т в о Согласно теоремам I и III оператор О(и)— компактен и непрерывен в пространстве Lp, р > 2. Возьмем замкнутую сферу s(u, R) с центром в ,и“ и ради­ уса R. Множество ее элементов будет выпуклым и зам­ кнутым в пространстве Lp. 240