УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

где B\{v) = Шх, y)[«it>+ Si | dy рр[0(н), о]==Лф(х, Л ,(гг)------- Ап(и)) — ip(x, By(v ) , . . . , Bn{v)fdx= n n p|q n = Я £ УИ, | (4((«)—Д (г>)|]р dx < J j £ M'\ ■ [ £| A{( u ) - i-1 i-1 i-1 P n 4 p |q ii - Bi (v)|] | dx = ( £ M?) • J £ m ( x , у ) [f,(y, u) - i-i i-i — fj(y, v)]dy + lKi{x, y) [fi (y, v) - \v — Si] dy?dx < < ( £ M*)*" £ «2P[fl^,y)(V|f,(y.«)-f|(y,®)|(/y]p+ i-i i-i +2p[J|Aj(jc,y)||f,(y, v) —a,v - Si|dyjp dx< n o|q n p]q <(£Mq) •2p£Л1ЛЛ1(-*.У)|,^У|• — *i(y.®)lp^yl+ i-1 i-1 +IflKi (x, y)|qd y f 4 • [J t\ (у, I»)—<*,» - 5,|]p dy J dx = n p|q n = ( £A i q) • 2p£{j'/i(y, « ) - / , ( y,w)|p</yX i-1 i-1 X f[Ц K\ (*, y)|«dyf 'Vx -1- fI/i (У, u) — op — S;|p dy X XЯЛ№,y )|qdyfdx [<(£Mq)PX2PX x j № + i“1 2P+1 • n [ £ yMq]Pli • J[J|/fi (x, _y)|qdy]p' qrfx i-l ‘ _j___________' /?pJ[{|^i(x,y)lqdy]plqdx_________ __ 2P+1 • n [ £ /Mq] plq • n j|tfi(* ,y)|qrfy]plqrf* i=l Откуда р[0(и), г»] </?. Таким образом элементы замкнутой сферы S(v, R) прост­ ранства Lp, р> 2 переводятся оператором О(и) в элементы той же сферы. Тогда по теореме Шаудера следует, что существует неподвижный элемент и=0(и), причем и е S(v, D), т. е. су­ ществует решение уравнения (I), которое находится в сфере радиуса R с центром v, где v —решение уравне­ ния (2). 239