УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

До к а з а т е л ь с т в о Ради простоты положим mes Е = 1 (Е —множество, по которому распространяется интеграл). Покажем прежде всего, что оператрр О (и) = ф \х, J/f, (х, уЩу, и), . . . ,\Кп(х, y)fn(y, u)dy] компак­ тен и непрерывен на ограниченном множестве JJ|«|p^x < const[ в пространстве Lp, р >2. Для этого надо только показать, что f|fi(y, «)|p*/y<const (или sup |fj(y, н)|р<Д ( у ) , где Д(у)—сумми- оуемая функция и J'Di(y) ^y<const) Но u)?dy < J[|«i| \u\ 4 -|Si(y)|+ Qfdy < < N q+ 1+ Q4)1Iq{ЯНРf |ЭДР+ 1]rfy}1|p= = (Wq+ 1+ Qq)"4{I »lp dy + JI St (y) |p dy + mes E \1|p где через Q обозначена правая часть условия (2). Так как \\u\pdy < const и jlS^y )\vdy < const, то ШУ, H)lp dy < const. Заметим, что из условия (3) следует непрерывность функ­ ций [j (у, и) по „и“. На основании теорем (I) и (III) заключаем, что опера­ тор О(и) компактен и непрерывен на ограниченном мно­ жестве !«(•*)} пространства Lp, р>2 . Предположим теперь, что v(x) есть решение уравнения »=ф[л:, \Кх(х, у)\яуо + 5,(у)]</у, . . . , $Кл(х, у)[«„® -f Д(у)Ку I Рассмотрим замыкание сферы 2>(v(x),R) радиуса R с цент­ ром в v(x). Эга сфера представляет, как известно, ограни­ ченное выпуклое множество пространства £р, р > 2. Возьмем семейство функций |м(х)[ таких, что р(и, г») < Я. Для доказательства теоремы достаточно показать, что р[0(и), г»] < R Рр[0(«), v\ = Лф ( jc , Ai(u), ..., Д„(н)) -ф(х, Bi{v), B„(v))\pdx 238