УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

Оператор О(и) = <р[х, А1{и),А2(и),...,Ап{и)\ непрерывен в пространстве L p, /?> 1 на семействе функций5= |f(х)'(, если 1. |<р(х, Zx, Z2, . . . , Zn ) <р(Xj, г2>' ' ' ’ ^ Т е о р е м а if < M0 j x —Xj \9Л + S Afi Zj— z'i 0< a, < 1 i - l ' ’ для всех zh z'.\ „«“—принадлежащих семейству S. * JL 2. p[/i(y, u'), f i(y, u") 1< D, “*p(«', u"), D{ — константы. p i 3*J| ^"i(x, y)|P~Vy < [fi i(x)] "i(p_1) , где fii(x)—суммиру­ емая функция и j'fi, (x) dx < С,, Cj —константа. Действи­ тельно, рассматривая полученную выше оценку для Рр[0 («), 0 ( «ш)| и пользуясь условием (2), получим: р 1~-П “i рр[0(и) , 0(иш)] < f S Mi L i-i p-i 1 • S С; [J|/i(y, «)■ i-1 — -1 П Ё Cj D\ pp («, «„,). t-i p 1ai Г 1 -/ i ( y , Ищ)| ^y I < [ s Af,p Ho lim p(«, «ш) = 0, следовательно lim p [0(«), О (мт )] = 0, m-> m-+*> то есть оператор 0 ( « ) —непрерывен. T ео ’р ема III Оператор О(«) является компактным относительно се­ мейства функции >S—I « (х) 1 пространства Lp, р> 1, если 1 , ср ( х , Z 2) • . • , ^ п ) <р ( X j , Z 2^ , . . • Zn ) j П <М0[х — x j + £Mi >i — z\\ , i -1 для всех zj, zj., „«“—принадлежащие семейству 5 = |«(x) [ i p ’___ 2. J |Я1 (x, y)|P_1 dy < [#i (x) ] (P_1) , 229