УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

Для доказательства этого свойства оператора О (и) исполь­ зована теорема Рисса, приведенная в тексте. Оператор О(и) называют непрерывным в функциональном простран­ стве Lp, р> 1, если из сходимости последовательности щ, г/2,..., и элементов этого пространства к« (х ) следует сходимость последовательности 0(и,), 0 ( к 2)......... О к О (и). То есть из условия: /imp («„,«) = О, следует Л->оо limp [0(ип\ О{и)] = 0, tl ->0 Р(и„, и) —расстояние между элементами ип(х) и к(х) в данном пространстве Lp, р> 1 р ( « л, « ) = { J|»„— и P r f x p p Уравнения типа (а)^ (х) = j К (x, y) f [у, <]»(у)] dy изуча­ лись Гаммерштейном, Иглишем, Лерей и Каччиополи, при условии симметричности ядра/С(х, у). В. В. Немыцкий 1 рассматривал уравнение (а) без этого ограничения на ядро. В данной работе также не предполагается симмет­ ричности для ядер, а лишь условие: j /<Дх, у) 1dy < Z,, (х), Lt (х)— суммируемая функция, a q— —— , р > 1. Работа яв- р - 1 ляется обобщением результатов, опубликованных автором в Ученых записках ТГПИ в 1954 г. на случай функциональ­ ного пространства Lp, р > 1. § 1 Лемма Пусть S = (х)|— семейство функций, /(х, и)—-функ­ ция, непрерывная по „и" для всех значений и такая, что sup /(х, и) р < Z, (х), где L(x) —суммируемая функция. и е s ' При этих условиях из /1т р(и, и„) = О Л->со следует: /imр [/(х, и), /(х, ив)] = 0. я - 00 Лемма доказана В. В. Немыцким1 для р — 2, но она ана­ логично может быть без труда доказана для любого />> 1. 1 Матем. сб., т. 41/3, 1934 г. 226