УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

Элемент у называется неподвижной точкой оператора A{f). Построение последовательных приближений tn, сходя­ щихся к неподвижному элементу /, можно производить, исходя из любого элемента /0. Выбор элемента f0 будет ска­ зываться лишь на быстроте сходимости \fn) к своему пределу. Принцип сжатых отображений является простейшим случаем более общего топологического принципа непод­ вижной точки, формулировки которого при разных пред­ положениях были даны Брауэром, Биркгофом и Келлогом, Б. С. Александровым и В. В. Немыцким. Наиболее общая формулировка его для метрических пространств была дана польским математиком Шаудером, им же были даны и мно­ гочисленные применения этого принципа. Теорема Шаудера В линейном полном нормированном пространстве при преобразовании замкнутого компактного выпуклого мно­ жества посредством непрерывного оператора в свою часть всегда существует неподвижная точка. В настоящей работе метод неподвижной точки и прин­ цип сжатых отображений применяются к исследованию весьма общего класса нелинейных интегральных уравнений (1) и(х)= <р[*, Лх(и), ^42 (ы),... А,(м)]> где Л/и) ==j Ht (х, у) fi (у, и) dy, i = 1,2,..., п. Символ j1—употребляется для обозначения интегрирования (в смысле L) по некоторому п —мерному евклидовому множеству Я; и х; у обозначают точки этого множества. Правая часть уравнения (1) рассматривается как функ­ циональный оператор О (и), приложенный к функции п(х) в пространстве Lp, (р > 1). При некоторых условиях на яд­ ра К/х, у) и функции f t ( y , u ) доказаны свойства непрерыв­ ности и компактности оператора О(и) в пространстве Lp,(p^>\) и на основе этих свойств теоремы существова­ ния и единственности решения данного интегрального уравнения (1). Кроме того, доказаны некоторые нелокаль­ ные теоремы существования для уравнения (1). Оператор О(н) называют компактным относительно семейства |н(х)} в функциональном пространстве Lp)p> 1, если он преобразу­ ет это семейство (множество) в множество компактное. 15 Ученые записки. VJI 225