УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

Рассмотрим некоторые частные случаи: 1) Если стрикционная линия (л) асимптотическая, то £х= О, 6Х= — , следовательно: A0i = Дм; Лх— 1 sm0x 2 tgРх tg рх ’ Iт. е. Кх равна тангенциальной кривизне Кх • sin 0Х. т — М * — РР + ЯЯ _ г. 1 X « п —п — I* L X j> р24- <?2 т. е. кручение тх равно геодезическому кручению [тх]. Легко проверить, что в этом случае (тх) = — К0> т. е. квадрат кручения равен относительной кривизне Я0 с об­ ратным знаком. 2. Еслистрикционная линия (х) геодезическая, то 0Х=О, _ __ ~/ гу.= ЯР'—Ря' = ®, откуда(если рф 0 и q=P 0)^- = ^ ; Р я - . ,г 1 COS 0„ = са, где с —const. Кх— -------= ---------, т. е. кривизна К, tgрх tgрх равна нормальной кривизне Кх cos 0Х; тх= х- ==[тх] , т. е. rfs2 кручение тх равно геодезическому кручению. 3. Если стрикционная линия (зс) еСть линия кривизны, то Мк= 0, dQx=d<?z, следовательно PP-\-qq = 0 и геодези­ ческое кручение [тх]= 0 . 4. Если стрикционная линия ( х ) одновременно является линией кривизны и геодезической линией, то Л4Х= 0, гх= 0, 0Х= О, откуда тх= 0, следовательно (х) есть плос­ кая кривая, лежащая в нормальной плоскости. 5. Если стрикционная линия (х) одновременно является линией кривизны и асимптотической, то Мх= 0, Lx—. 0, 0Х=-^- , откуда тх= 0, следовательно (х) есть плоская кривая, лежащая в тангенциальной плоскости. G. Если стрикционная линия (х) одновременно является геодезической и асимптотической линией, то Lx= 0, sx= 0, откуда Ях= 0, следовательно (зс) есть прямая линия. Обратно, если (зс) есть прямая линия, то она является геодезической и асимптотической одновременно. 7. Пусть обе стрикционные линии (х) и ( v) поверх­ ности (С) одновременно_ являются асимптотическими. Тогда имеем: Lx—(pq—qp) dt2— 0, Ly = (pq —pq) dt! = 0. 215