УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

Согласно определению кривизна линии (х) в точке х выразится: рх—радиус круга кривизны, аналогично кручение тх= — ;г—, tg Рх dsx где ^ —величина, двойственная рх и называется углом кривизны. Величиной двойственной кривизне Ах будет К — 1 = d<ft ‘g^x rf'fz Для кривизны и кручения поверхностной кривой Rath [8] получил следующие формулы: гх= (г, х, dx, d ‘x)\ Lx—dmdv? + 2 d^dxdt + dtldt2; 0X— угол, образованный спрямляющей плоскостью линии (х) и касательной плоскостью к поверхности в точке х, УИх= (х , z, dx, dz), причем х ,— есть координаты точки х линии (х), Z-, — координаты касательной плоскости к по­ верхности (G) в точке х, равные координатам полюса этой плоскости, т. е. координатам точки z. Уравнение sx= (z, х, dx, d2x) — 0 есть дифференциаль­ ное уравнение геодезических линий, Lx —0—дифферен­ циальное уравнение асимптотических линий, Л1Х= 0—диф­ ференциальное уравнение линий кривизны. Пользуясь формулами (31), найдем: Подставив из (31) значения dx, d*x в выражение для ех и dx, dz—в выражение для Мх и помня, что детерми­ нант (х, у, z, ( 1 )) = 1, получим: Для стрикционной линии (х), параметр а = 0, следова­ тельно, формулы (67) примут вид: <g Рх ds*~V d-X3 —]//>“' + q- ■dt- Ч = {ЯР' - РЯ ' )dt\ Мх=— ( рр+ qq)dt~. d™= 0, dH= -±p, dtt= ± (qp —qp), и Lx= ± {qp — qp)dt2. 213