УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

Аналогично предыдущему для tg <]>получим квадратное уравнение: i tg ф■ dM— tg Ф • d at— E„t I tg <]>• rft«— Eta tg Ф • dtt—E{1 = 0 , откуда A„ = «t tg 'K • tg+2 H £tt - Kt pi s in2 a + pi COS2 a (72) ^cp -- — 1 ‘__ tg <w 1 tg h _У P 2Sin2 a + P* COS* a T pp F pp Ean ' d{[ -f- E{{ • dan — 2Eat * da t Eaa •£(t— E^t 4 •PP + + [ sin a • COS a ( pp' — p 'p ) 1 t q+ 2-- (P2 sin-a+/?2COS2a) . (73) p ‘ s in2 a + p COS2 a J j Сравнивая (72) и (70), (73) и (71), получим: tf0ff0= l ; Лер= 4" Ло ' К0 h _ J^cp_ /*'ср — Рассмотрим несколько частных случаев. 1. Пусть (G) развертывающаяся поверхность с ребром возврата (х). Тогда р — 0 и формула (70) даст: Л"0=0 , следовательно Аа= 1. То же получим при р — 0, р ф 0. 2. Пусть (G) клиффордова поверхность. Тогда р —Фр, формула (70) дает: к 0— — 1, следовательно Ка—0. Покажем, что никаких других линейчатых поверхностей постоянной гауссовой кривизны в эллиптическом простран­ стве не существует. -12 Пусть К( 0_ “ [ 2 • 2 LP sin a PP + р COS a _ — c ~ const, откуда PP = ± с (p- sin2a + p2 cos2a) = + с f p~ -f- ( p *— p~) cos2a] и cos2a = cp2 . ± c ( p 2 - p 2) * Ratha [8] 14* 211