УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

Если исключим из (69) t gd , получим дифференциальное уравнение линий кривизны, а для определения tg d из (69) получим квадратное уравнение: d ' da* l*a tg d ' da t l*i ^ | t g d ■dt*—It* t g d ' dtt—ltt ~~ ’ ct g d t и ctga^ есть главноекривизны поверхности в точке т. 1 d *a dti — d ^ Относительная кривизна K0 = -—-—-—-■'= --------------- -= tg rfi • tg d2 1Ш /tt_ /2( sin2a -f p2 cos3а Средняя кривизна , 1 . 1 la a /itt T- /tt da* — Vlatdat cp " tgrf, /„/«-& SB —^7 ----------------• [i • /?/? + g(/?9sin2a + / c o s 2a) + (/72Sin2a-)-/7-COS2a) '2 -j- sin a COS a (/>//—/?'/?)]. (71) Обратимся теперь к двойственным образам. Поверхно­ стной нормали [пг, р.] двойственной будет линия I пересе­ чения касательной плоскости р. с полярной плоскостью точ­ ки т. Координаты ).( плоскости, проходящей через I, мо­ гут быть выражены следующим образом: X, = а'т{ -)-6Vj. Если обозначим угол между плоскостями 1 и ц через ф, то будем иметь: cos^ = p \—Ь', sinф=отX= а’, откуда tgф= -. О Пусть X—будет плоскостью, проходящей через две по­ следовательные линии I. Тогда при дифференцировании величины Х| надо считать постоянными, т. е. a'drtii -f b'd\x i + mKda’ -(- Pi db' — 0. Аналогично предыдущему найдем, что da '= db '= 0, следовательно <|>= const. Угол <|>называется углом кривизны и является двойст­ венным образом радиусу круга кривизны d. Таким обра­ зом, двойственным кругу кривизны будет конус кривизны, 210