УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

Чтобы получить выражения для главных радиусов кри­ визны поверхности (G) в точке т, рассмотрим линии кри­ визны, проходящие через т. Линиями кривизны называют­ ся те сопряженные кривые поверхности, которые пересе­ каются под прямым углом, или вдоль которых последо­ вательные нормали поверхности пересекаются. Координаты Д произвольной точки / поверхностной нор­ мали можем представить в следующем виде: Д= am, + йр, (68), где ’/«j —координаты точки т, Рч— координаты полюса касательной плоскости р.. Если обозначим расстояние от точки т до / через d (расстояние отсчитывается в положительном направлении луча [п, р] нормали), то будем иметь: cos d = mt —a, sin d = \xf= b, откуда tg a Пусть f будет точкой пересечения двух последователь­ ных нормалей. Тогда при дифференцировании (68) величи­ ны /( надо считать постоянными, т. е. a dm j -f- bdpt -f mKda 4- pi db = 0. Умножив на т„ а затем на pf и просуммировав по i = 0, 1, 2, 3, получим da—0,db = 0, откуда а— const, 6= const и d — const. Т. о. d есть радиус круга кривизны, а /—центр круга кривизны рассматриваемой линии кри­ визны. Подставляя в последнее равенство da = db = 0, получим adm{ -f Мр, = 0 или dm-, -j- tg d dy.-,— 0, что после уможения на — , а затем на — и суммирова- дз. at ния по i = 0, 1, 2, 3 дает: ^ d m + tg d— d\>-= 0, — dm -f- i g d — </p= 0 da da dt 1 s dt или (/ora da. -)- 4t dt) -(- t g d ( d aa da. — d at dt) = 0 1 ^-gg^ (l*t da. + lndt)~)~\gd(—d^da. — dtl </t)= 0 [ 14 Ученые записки. VII 209