УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

верхность (G) —коническая с вершиной в точке х, а стрик- ционная линия (у) есть окружность радиуса г. Если точ­ ка х переменная, а луч G, скользя своей точкой х по не­ подвижной прямой В, остается в одной плоскости, то ли­ ния (у) будет линией равных расстояний от В, т. е. окруж­ ностью радиуса г, а поверхность (Gj — плоской по­ лосой ширины 2г. Если луч G( скользя своей точкой х: по прямой В, од­ новременно вращается вокруг этой прямой со скоростью, пропорциональной скорости поступательного движения, линия (у) будет винтовой, а поверхность (G) косым гели­ коидом. § 9. Гауссова кривизна линейчатой поверхности В евклидовом пространстве гауссова кривизна поверх­ ности может быть определена тремя равносильными меж­ ду собой способами: 1. Как внутренний инвариант линейного элемента (инва­ риант изгибания); 2) Как произведение главных кривизн и 3) Как отношение сферического образа элемента поверх­ ности к самому элементу поверхности. Первое из этих определений непосредственно перено­ сится на неевклидовы пространства. Обобщение второго определения на неевкидовы пространства дал Bianchi (см. Bianchi —Lukat, Vorlesungen fiber Dlfferentialgeometrie, 1 изд, гл. XXII, 1899 г.). Обобщение третьего определения дал Study (см. Study, Nachtrag zu dem Aufsatz: Uber nichteuklidische und Linien- geometrie, Iahresber. d. D. М. V., II, 1902). Оказывается, что в неевклидовом пространстве только первое и третье определения гауссовой кривизны равно­ сильны между собой и приводят к величине Ла, которая называется абсолютной кривизной поверхности. Второе определение дает величину К0, называемую относительной кривизной поверхности и связанную с КЛ следующей про­ стой зависимостью: КЛ—К0+К, где К— кривизна простран­ ства. Мы условились считать кривизну пространства А=1, следовательно КЛ—К 0+1. Представим произвольную точку т линейчатой поверх­ ности (G) с помощью параметров t и а в следующем виде: т—x(t ) cos (а) + у (t) • sin (а) 200