УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

Функцию U=L/(X) будем называть аналитической в об­ ласти 2, если U\, U2 и ихчастные производные первого порядка непрерывны в этой области и еслиудовлетво­ ряются условия (13). Легко убедиться, что функции Хт, где т. целое положительное число, е*, sln.Y, cos-Y удовлет­ воряют условиям (13) на всей плоскости. Формулы дифференцирования функций вещественного переменного сохраняются и в области дуальных чисел. Так например, вычисляя производные функций Хт, ех, sinA, cosA, tgA", ctgA по формуле (14) или (14'), получим: * ^ = тХ « - *, = ^ = CosA, ^ = - sinA, dX dX dX dX dtgX _ _1_ dc tgX _ _ 1 dX~~ cos*X ' dX ~ sinSA- ' Если уравнения (13) продифференцируем еще раз по Хх и I , и примем во внимание, что для непрерывных функ­ ций результат дифференцирования не зависит от его по­ рядка, то получим: dW, _ MJx дЧJA_ 64J2 дХ\ дХ\' дХ\ дх\ Следовательно, вещественные и дуальные части анали­ тической функции дуального переменного являются ре­ шениями волнового уравнения. 4. Понятие определенного интеграла можно ввести со­ вершенно так же, как это делается в теории функций комплексного переменного. Если U = U(X) аналитическая в области 2 функция и С—кривая, соединяющая точки Х0 и X и лежащая в 2, то определенный интеграл от функции U—U (X) по дуальному переменному X выразится через криволинейные интегралы следующей формулой: х ^U (X )dX = ^(Uxdxi + U J x 2)+ e^(Uzdxi + U,dx2) (15) x 0 с с В силу условий (13) криволинейные интегралы форму­ лы (15) не зависят от пути интегрирования в области 2, 12 Ученые записки. VII 177