УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

делом переменного X, если разность X—А есть бесконеч­ но малое число. Пусть дуальное переменное X= х{+&х2, изменяясь, принимает множество значений, 2, которое мы будем на­ зывать областью значений переменного X. Если каждому значению X из этой области по какому-нибудь закону ставится в соответствие дуальное число U = iiy -f- ги2) то U= U(X) будем называть функцией дуального переменного X в области S. Задание функции U дуального перемен­ ного Л" равносильно заданию двух вещественных функций и, = Uy(Xy, Х 2), и, = и2(Хг, X,) от двух вещественных переменных Ху и Х 2. Функция U—U ( X ) будет непрерывна в области 2, если U 1 и U2 непрерывные функции от Ху и Х 2 в этой области. Легко убедиться, что функции ех, sinAf, cosA' непрерывны на всей плоскости дуального переменного, tgA и ctgA'—непрерывны на всей плоскости, исключая точки биссектрис координатных углов. Функцию U= U(x) будем называть дифференцируемой в точке X, если существует lim 4Qf+*x>-um_t дх — &Х не зависящий от закона стремления ДА к нулю. Этот предел назовем производной функции U=U(X) и обозначим через in 1 dU dU(X) U = U (X) или— = —-— . 7 dX dX Неебходимыми и достаточными условиями дифферен­ цируемости функции U—U(X) будут следующие диффе­ ренциальные уравнения — аналоги условий Коши-Римана: dUy(xy, х2) _ дЦ2(хи хг) дху дх2 ()U\{xh х2) _ dU2(xu х2) (13) дх2 дху Производную U'—U'(X) можем вычислять по формуле и , _Щ_ + г ди± ^ 14 ) или е—2 (14') дху дх, дхг дх2 .176