УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

2. Вспомогательные теоремы Рассмотрим прежде всего вопрос об основных еди­ ницах кольца о (V ), где т) — корень уравнения т)3— r f — 2yj 1 = 0. Как известно, кольцо О У tj j имеет четыре основ­ ных единицы, но так как оно содержит кубическое под- кольцо O(vj), имеющее две основных единицы, то две из четырех основных единиц кольца О (]/Д) будут иметь по отношению к кольцу 0(»]) норму, равную+ 1, В дальнейшем мы будем называть норму по отношению к кольцу 0(т]) просто относительной нормой. Следует заметить, что практически общего метода нахождения основных единиц кольца шестой степени не существует, но все же две единицы кольца имеющих относительную норму-}-1, найдены. Такими единицами будут: X, =27)" - 1+ 2т)" j/7 = + VW? *2= у W - f - l / T ) 2- Докажем, что эти единицы можно взять за основные. Для доказательства воспользуемся теоремой. Т е о р ем а 1. Если в кольце „Ки существует две основных единицы и если для единиц этого кольца xt и х, невозможно ни одно из соотношений Т2= Ет и X! хК=Гс1 ни при каких /я>1, я> 1 и /, то х, и х2 основные единицы. Д о к а з а т е л ь с т в о . В самом деле, пусть основны­ ми единицами будут г, и г2. Тогда х, = е,“ г*2 и х2= sc, srf2 причем, гак как х2 ф ет , то (с, d) — I. Найдем числа и и v такие, чтобы du—cv~\. Пусть a d—be —t. Далее, так как выбор зависит от нас, то выберем его равным a v—bu, т. е. l =av — bn. 140