УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

Если дискриминант многочлена (1) отрицателен, то по известной теореме Дирихле все единицы кольца О (tj) суть степени одной основной единицы. Это об­ стоятельство позволило Б. Н. Делоне (см. список ли­ тературы 1) дать способ, позволяющий решить много таких уравнений и доказать, что за тремя исключения­ ми эти уравнения могут иметь не более трех решений. Если же дискриминант многочлена (1) положителен, то единицы кольца O( tj ) представляются в виде произ­ ведения степеней, со всевозможными целыми рацио­ нальными показателями, двух основных единиц, и ме­ тод, данный Б. Н. Делоне здесь оказывается неприме­ нимым. Однако, базируясь на индивидуальных свойст­ вах кольца о(ЕТ), где т)—корень уравнения 7)*—Зт) -f- 1= О W. Ljunggren (см. 2) решил в целых числах уравнение X s — Зху2— у х — 1 Доказав, что оно имеет только шесть решений (1,0), (0 , -1 ) , ( -1 ,1 ) , (2,1), (1 , -3 ) , ( -3 ,2 ) . Затем он высказал мысль, что его метод применим и к другим уравнениям вида Xs— ах'-у —(а + 3) ху2 —у* = 1. (2) Настоящая работа и посвящена исследованию вопроса о решении в целых числах неопределенного уравне­ ния (2) при а ——], т. е. уравнения л-34- х2у —2 ху2 — у *= 1, имеющего наименьший положительный дискриминант £>= 49. 139