УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

Аспирант В. И. БАУЛИН О НЕОПРЕДЕЛЕННОМ УРАВНЕНИИ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ С НАИМЕНЬШИМ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМ ДИСКРИМИНАНТОМ 1. Введение Решение в целых числах неопределенных уравнений высших степеней представляет собой одну из трудных и интересных проблем теории чисел. Задача решения уравнений в целых числах решена до конца только для уравнений второй степени с двумя неизвестными. Для уравнений выше второй степени с двумя или более не­ известными, подобная задача трудна, так как до сих пор еще сама теория весьма несовершенна. Поэтому инте­ рес к решению таких уравнений велик. Особое внима­ ние привлекает решение неопределенных уравнений третьей степени с двумя неизвестными, так как, во- первых, эго следующий но сложности пример, а, во- вторых, многие важные задачи теории кубических ирра­ циональностей сводятся к решению в целых рациональ­ ных числах неопределенных уравнений третьей степени. В настоящее время известно много уравнений треть­ ей степени с двумя неизвестными, решенных до конца. Так, решение в целых числах неопределенного уравнения f (x , у) —xs + ах2у 4- Ьху2+ су3= 1 сводится к нахождению в кольце О(г)) двучленных алгебраических единиц, т. е. единиц вида * -Ь У Ч, где q — корень многочлена / (х, — 1) = х3 — ал2-{- Ьх — с. (1) 138