УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

Переход к оригиналу по переменной q осуществляется так же, как и в предыдущем случае, с той лишь разни­ цей, что теперь надо взять V(t — -ф —xi вместо t — т. Таким образом, искомое решение имеет вид: u(t,x,y)=f(t-x,у)— t—x у ’ Y[t -VL'—Л-a - - f * , Г ■/ -1 1 - ■ Ch (1 Г с K iSuTST*) // (x, о) d o + -eo v 7 2 ___________________ t—X y+ Y(t— т }2 — X2 + ~ ~ J /H ^ ^ ) 7 (x ,o ) r fa . —00 y—Y (/—— X'j Доказательство сходимости несобственных интегралов, входящих в формулу (7,). Убедимся, что при -с-* t —а* интеграл t - х ут Уit— xy:-xi L !, , Г ~~~Zch (уг^уг{>^~~л^)/,а (", з) <7х. J J V V - * » — 00 у— Т/Г(/—т)2—-Г не имеет особенности. Легко показать, что у г Y ( t - w - i . j - у-° Ch[VcIf(t- x)*- jc*—(У - a ) *]//(x,o)rfa I, J (y-a)* y—T((—TJ2—JT2 при i —*t—x стремится к нулю так же, как и (£—- х)'-— х'2. В самом деле, функция (х, а) удовлетворяет условию Липшица по переменной а, т. е. существует такое N>0, что для любого х из области определения этой функ­ ции и любых двух значений у и о (тоже из области оп­ ределения) выполняется неравенство 1 // (т ,у ) -// (х ,а ) [<УУ (у -а ) . 134