УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

кгдЬ f (t) удовлетворяет условию (A) If (0 |< C'eVc ‘ для ^> О, {(/) < Се ,уc+a>t, а>0 , при (->— оо в'Я'лассе функций, удовлетворяющих условию ( В )и = 0 на бесконечности для любых t (см. введение). Д о к а з а т е л ь с т в о . Перейдем в уравнении (1,) к изображениям с помощью двустороннего преобразова­ ния Лацласа по переменной t. | Предположив, что \ I со и ( t , д) -s- U (р,х ) — р J' е~р‘ и {t, х) dt, —оо Веогласно правилу дифференцирования оригинала найдем, 1: что и„+-р2О(р.к). г Дифференцируя, далее, интеграл Лапласа дважды по па­ раметру х, получаем Ив! : Г т 1+ <1*и № «,.г +-р \ e -ptu rrd t— ■. I ЛГДГ dxt Изображающее уравнение, следовательно, будет | (3 , ) Введя вспомогательную функцию Ux\x=0=F(t), — со < ^< с о , будем решать уравнение (3,) при начальных условиях Ux-а—4(p) = p\e -p4( t ) dt— i(t), VС< Rep < У с + «, 0 I (4.) 2 = Ф (Р) = Р \e-»‘F(t) dt - Fit) 1' L -О J CO и условии (С) lim (J (p, x) = 0,