УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ВЫПУСК 7

ниченную область, так что фактически возможность приме­ нения метода Римана-Вольтерра исключена. Оказывается, что применение двустороннего преобра­ зования Лапласа позволяет найти решение и для случаи указанной неограниченной области с учетом условия на бесконечности, но при одном только начальном условии »U-o= f- Идея применения операционного исчисления к решению уравнений в частных производных состоит в замене реше­ ния исходного уравнения и решением U изображающего уравнения и последующем переходе к искомому решению. При образовании изображающего уравнения и его гранич­ ных условий необходимо сделать определенные предполо­ жения о свойствах функции и, именно, надо предполо­ жить, что со оо оо оо j e~v<adt, j J е~р‘~чУиdt dy, j e~pUit di и т. д. — оо — оо — со — оо существуют и что дифференцирование определяющих ин­ тегралов по параметру а - законно. Необходимо отметить, что вышеуказанные предполо­ жения разумны и вовсе не являются ограничительными с физической точки зрения. Однако для полного обосно­ вания законности всех совершаемых нами операций не­ обходимо проверить, что полученный результат удовлет­ воряет первоначальному дифференциальному уравнению, а также начальным условиям. Г л А в А I Решение задачи для одномерного волнового уравне­ ния с дисперсионным членом на полуоси х>0. § 1. Т е о р е м а 1. Существует единственное обобщенное1 решение урав­ нения Oi) utt~ ихх—си = О при граничном условии ( 2 ,) и х 0= f ( 0 , — со < * < со, 1 Обобщенным решением мы называем оригинал решения изоб ражающего уравнения. 118